Тема 1.1 Определение и свойства последовательностей

Разработал

Преподаватель математики

Николенко Д.В.

Николенко Д.В.

Пояснительная записка

Данное учебное пособие предназначено для студентов 2 курса ОБОУ СПО Курский техникум связи. Пособие написано в соответствии с требованиями государственных стандартов в области математики для специалистов среднего звена.

Пособие содержит все необходимые определения, формулы, теоремы, входящие в курс математики средних учебных заведений.

Это не только учебное пособие , но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы.

Содержание

Пояснительная записка……………………………………………

Глава 1. Последовательности…………………………………….

1.1. Определение и свойства последовательностей………...

1.2. Предел числовой последовательности.

Предел функции………………………………………………

1.3. Непрерывность функции в точке……………………….

Упражнения…………………………………………………..

Глава 2. Математический анализ…………………………………

2.1. Определение производной……………………………….

2.2. Правила вычисления производной………………………

Упражнения ……………………………………………………

2.3. Исследование функции методами

дифференциального исчисления……………………………..

2.31. Исследование функции на возрастание и убывание…

2.32. Исследование функции на экстремум………………..

2.33. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке ……………………………………………………….

2.34. Исследование функции на выпуклость, вогнутость

и точки перегиба ……………………………………………….

2.35. Асимптоты графика функции………………………...

2.36. Общая схема исследования функции и построения

их графиков……………………………………………………..

Упражнения……………………………………………………..

2.4. Неопределенный интеграл…………………………………

2.41. Первообразная функции и неопределенный

интеграл …………………………………………………………

2.42. Свойства неопределенного интеграла.

Интеграл от основных элементарных функций……………….

2.43. Методы интегрирования……………………………….

Упражнения………………………………………………………

2.5 Определенный интеграл…………………………………….

2.51. Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл………………………………………

2.52. Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница…………………………………..

2.53. Вычисление площади плоских фигур…………………

Упражнения………………………………………………………

2.6. Производная высшего порядка…………………………….

Упражнения………………………………………………………

2.7. Функция нескольких переменных …………………………

Упражнения………………………………………………………

Глава 3. Ряды…………………………………………………………

3.1. Числовые ряды. Сходимость рядов………………………..

3.2. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд. Геометрический ряд……………………..

3.3. Ряды с положительными членами………………………....

3.4. Знакочередующиеся ряды………………………………….

Упражнения……………………………………………………..

3.5. Степенные ряды……………………………………………

Упражнения……………………………………………………..

Глава 4. Элементы логики…………………………………………

4.1. Понятие множества. Элементы множества………………

4.2. Способы задания множеств……………………………….

4.3. Отношения между множествами………………………….

4.4. Операции над множествами………………………………

Упражнения…………………………………………………….

Глава 5. Численное интегрирование………………………………

5.1. Приближенные методы вычисления

определенных интегралов………………………………………

Упражнения……………………………………………………….

Глава 6. Элементы линейной алгебры……………………………..

6.1. Матрицы и определители…………………………………..

6.2. Правило Крамера для систем линейных уравнений………

Упражнения………………………………………………………

Список литературы …………………………………………….

Глава 1. Последовательности.

Тема 1.1 Определение и свойства последовательностей.

Множество чисел, каждое их которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности: х₁, х₂,х₃,…х_n,…

Чаще всего эта последовательность подчиняется какому-нибудь правилу.

Способы задания последовательностей

1) Аналитический способ задания последовательности.

Задать последовательность аналитически- это значит указать формулу, позволяющую по номеру члена последовательности однозначно определить этот член. Формула, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности.

Например, формулы общего члена

задают соответственно следующие числовые последовательности:

2) Рекуррентный способ задания последовательностей.

Рекуррентный способ задания состоит в том, что задается первый член( или несколько первых членов) последовательности указывается формула вычисления последующих членов последовательности по заданному первому члену( или нескольким членам).

Например, по первому члену и формуле вычисления последующих членов последовательности

a₁₌1, a_n+1=a_n+1 ,n

задается следующая последовательность:

1, 2, 3, 4, …, n-1, n, n+1, …

Последовательности бывают: ограниченные (если последовательность задается конечным числом элементов) и бесконечные ( если последовательность задается бесконечным числом элементов).

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

x_n+1>x_n.

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

x_n+1<x_n.

Пример: Доказать, что последовательность, задаваемаяформулой общего члена возрастающая.

Решение : Рассмотрим разность

и проверим выполнение неравенства для всех :

Так как последнее неравенство справедливо для всех , то, данная последовательность –возрастающая.