Свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема 1

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство

Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малые последовательности.

Докажем, что Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малая последовательность

Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - произвольное число.

Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - номер, начиная с которого Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru

Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - номер, начиная с которого Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru

Так как Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , то, обозначая Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , получаем, что, начиная с некоторого номера N выполняется неравенство Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Это означает, что последовательность Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малая.

Теорема 2

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство аналогичное, только, вместо Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru берем Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru

Следствие Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3

Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство

Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малая последовательность. Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - произвольное число. Пусть N – номер, начиная с которого Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Обозначим через Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Очевидно, что Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru для Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , что означает ограниченность последовательности.

Теорема 4

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство

Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малая последовательность;

Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - ограниченная последовательность.

Так как Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - ограниченная последовательность, то Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , что Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Возьмем Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - произвольное число. Так как Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малая последовательность, то для положительного числа Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru можно указать N такой, что при Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru выполняется неравенство Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Тогда при Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Поэтому последовательность Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малая.

Следствие

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Замечание

Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.

Например

Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru

Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru бесконечно большая последовательность

Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru бесконечно малая последовательность

Если бесконечно много элементов последовательности Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru равны 0, то последовательность Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru не имеет смысла.

Теорема 5

Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0.

Доказательство

Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , положим Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Начиная с номера N, соответствующему этому Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru выполняется неравенство Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Так как Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , а Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , то Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - противоречие.

Теорема 6

Если Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n определена последовательность Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , которая является бесконечно малой последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru не равны 0, то последовательность Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно большая.

Доказательство

Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного A>0, существует N, начиная с которого Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Это означает, что при Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru все элементы Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , тогда последовательность Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru имеет смысл, если ее элементы рассматривать, начиная с номера Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Докажем теперь, что Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru бесконечно малая последовательность. Пусть Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - произвольное число. Для числа Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , такой, что при Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru выполняется неравенство Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru . Поэтому, начиная с указанного номера N. Будет выполняться неравенство Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru , то есть доказано, что последовательность Свойства бесконечно малых последовательностей - student2.ru - бесконечно малая.

Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

Наши рекомендации