Потенциал электростатического ноля

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2вдоль про­извольной траектории (рис. 7.1) перемещается другой точечный заряд Q_o, то сила, приложенная к заряду, совершает работу.

Работа силы F на элементарном перемещении dl равна:

Так как , то

Работа при перемещении заряда Q_o из точки 1 в точку 2

(7.1)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным,а электростатические силы – консервативными.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Как известно, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Работу (7.1) сил электростатического поля мож­но представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q_o в начальной и конечной точках поля заряда Q:

(7.1)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда Q_o в поле заряда Q равна

Она определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С.

Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r®¥) потенциальная энергия обращается в нуль (U=0), то C=0 и потенциальная энергия заряда Q_o, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна

(7.2)

Если поле создается системой пточечных зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_n, то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом Q_o, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия Uзаряда Q_o, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциаль­ных энергий U_i, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

(7.3)

Из формул (7.2) и (7.3) вытекает, что отношение не зависит от Q_o и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, на­зываемой потенциалом:

(7.4)

Потенциалj в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (7.4) и (7.2) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

(7.5)

Работа, совершаемая силами элек­тростатического поля при перемещении заряда Q_o из точки 1 в точку 2 (см. (7.1), (7.4), (7.5)), может быть представлена как

(7.6)

т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Разность потенциаловдвух точек 1 и 2вэлектростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Работа сил поля при перемещении заряда Q_o из точки 1 в точку 2может быть записана также в виде

(7.7)

Приравняв (7.6) и (7.7), придем к вы­ражению для разности потенциалов:

(7.8)

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Если перемещать заряд Q_o из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бес­конечность, где по условию потенциал ра­вен нулю, то работа сил электростатиче­ского поля, согласно (7.6),

откуда

(7.9)

Таким образом, потенциал— физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Из выражения (7.4) следует, что единица потенциала — вольт(В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1В=1Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что единица напряженности электростатического поля действительно равна 1В/м: 1Н/Кл = 1Н×м/(Кл×м)=1Дж/(Кл×м) = 1 В/м.

Из формул (7.3) и (7.4) вытекает, что если поле создаётся несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

.