Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru 1. Угол между прямой и плоскостью.

Опр. Углом между прямой и плоскостью называется меньший из двух смежных углов между прямой и ее проекцией на плоскость.

Таким образом, угол Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru между прямой Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru и плоскостью Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru принимает значения в промежутке Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Найдем угол между ними. Рассмотрим векторы

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru . Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Условие параллельности прямой и плоскости:

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Пересечение прямой и плоскости

Пусть заданы плоскость и прямая

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой и подставим их в уравнение плоскости Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

1. Если Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , то находим значение t:

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru ;

подставляем его в уравнения прямой и находим координаты точки пересечения.

2. Если Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =0, то Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , при этом:

а) если Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , то Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , т.е. прямая целиком лежит в плоскости;

б) если Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , то Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , т.е. прямая параллельна плоскости и не имеет с ней общих точек.

ПР. Написать уравнения прямой Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , проходящей через точку Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru перпендикулярно плоскости Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru . Найти точку пересечения Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru и Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru . Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru

Поверхности

Опр. Пусть Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru некоторая функция, связывающая три переменные. Множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , называется поверхностью в 3-мерном пространстве.

Если функция Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru линейная, то поверхность является плоскостью.

Цилиндрические поверхности

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Опр.Пусть L- некоторая линия в пространстве, через каждую точку которой проведены прямые, параллельные некоторой данной прямой l. Множество, являющееся объединением этих прямых, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром; L − направляющаяцилиндра; прямые, параллельные l – образующие цилиндра.

Будем рассматривать уравнения поверхности в ДПСК.

Признак цилиндрической поверхности.

Если в уравнении поверхности отсутствует одна из координат, то эта поверхность – цилиндр с образующими, параллельными соответствующей координатной оси.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru : Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru : Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru : Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Замечание. Название цилиндрической поверхности, как правило, дается по названию линии L.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru

ПР. Построить поверхности:

а) Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , б) Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

ПР. Построить тело: Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Поверхности второго порядка

Опр. Поверхностью 2-го порядка называется множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют в ДПСК уравнению

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru ,
где Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Будем считать, что в уравнении присутствуют все три координаты и коэффициенты Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru . Тогда с помощью параллельного переноса системы координат уравнение можно привести к одному из следующих видов и получить следующие поверхности.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ruэллипсоид.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ruоднополостный гиперболоид.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ruдвуполостный гиперболоид.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ruэллиптический параболоид.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru − гиперболический параболоид.

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ruконус.

Наши рекомендации