Основные правила дифференцирования

Правило 1. Производная постоянного числа равна нулю.

Это простейшее правило – оно следует и из определения; и из физического смысла – если путь не изменяется, то скорость равна нулю.

Правило 2. Производная суммы функций.

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru

Кратко говорят: «производная суммы равна сумме производных».

Правило 3. Производная произведения функций.

Сначала заметим следующее: если Основные правила дифференцирования - student2.ru , то Основные правила дифференцирования - student2.ru Поэтому:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru Мы учли, что Основные правила дифференцирования - student2.ru

Итак, для запоминания короче: (u•v Основные правила дифференцирования - student2.ru = Основные правила дифференцирования - student2.ru , - «производная произведения равна производной первого сомножителя, умноженной на неизменный второй плюс наоборот - производная второго сомножителя, умноженная на неизменный первый».

Следствие 1. Если Основные правила дифференцирования - student2.ru , то Основные правила дифференцирования - student2.ru

постоянный множитель можно выносить на знак производной,

Следствие 2. Поскольку в формуле сомножители равноправны, то она легко обобщается на случай любого числа сомножителей. Например, для четырёх сомножителей.

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Правило 4.Производная дроби (частного двух функций).

Основные правила дифференцирования - student2.ru или короче для запоминания: Основные правила дифференцирования - student2.ru

Формула доказывается аналогично.

Правило 5. Производная сложной функции.

Это правило является важнейшим - умение его применять наряду с отличным знанием таблицы производных и обеспечивает технику дифференцирования.

Определение. Пусть дана некоторая функция Основные правила дифференцирования - student2.ru , где аргумент Основные правила дифференцирования - student2.ru в свою очередь является функцией аргумента Основные правила дифференцирования - student2.ru . По этой причине Основные правила дифференцирования - student2.ru называется промежуточным аргументом. Тогда Основные правила дифференцирования - student2.ru Функция Основные правила дифференцирования - student2.ru называется сложной функцией аргумента Основные правила дифференцирования - student2.ru - сначала вычислим Основные правила дифференцирования - student2.ru , а затем уже Основные правила дифференцирования - student2.ru . Получается, что сложная функция Основные правила дифференцирования - student2.ru есть Основные правила дифференцирования - student2.ru - «функция от функции».

Например, Основные правила дифференцирования - student2.ru - простая функция, а функция Основные правила дифференцирования - student2.ru - сложная. Сложной функцией будет Основные правила дифференцирования - student2.ru и т.д. Как видим, термин «сложная функция» не обязательно означает её громоздкость – это «функция от функции».

Итак, пусть Основные правила дифференцирования - student2.ru Предположим, что Основные правила дифференцирования - student2.ru и Основные правила дифференцирования - student2.ru – функции, производные которых мы знаем (например, функции из таблицы производных). Вопрос: как найти производную Основные правила дифференцирования - student2.ru ?

Пример 3. Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Здесь мы по таблице производных знаем: Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru Вопрос: как найти Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru

Формула производной сложной функции имеет простой вид:

производная сложной функции равна произведению простых функций, её составляющих.

Легко обобщить её на случай более громоздкой сложности: например, пусть Основные правила дифференцирования - student2.ru , т.е. Основные правила дифференцирования - student2.ru , тогда

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Пример 4. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru

Решение. Это сложная функция: Основные правила дифференцирования - student2.ru Из таблицы: Основные правила дифференцирования - student2.ru , Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru - подставим Основные правила дифференцирования - student2.ru и получаем: Основные правила дифференцирования - student2.ru

Конечно, каждый раз сложную функцию расчленять на простые - занятие обременительное. На практике делается следующим образом.

Пример 5. Найти производную функции Основные правила дифференцирования - student2.ru

Решение. Смотрим на данную функцию и говорим: во-первых, это косинус аргумента Основные правила дифференцирования - student2.ru (что собой представляет аргумент Основные правила дифференцирования - student2.ru мы не записываем, а просто его видим: Основные правила дифференцирования - student2.ru ). Вспоминаем таблицу производных: Основные правила дифференцирования - student2.ru и записываем (помня чему равен промежуточный аргумент Основные правила дифференцирования - student2.ru ): Основные правила дифференцирования - student2.ru Но на этом моменте мы не останавливаемся – ведь производная Основные правила дифференцирования - student2.ru . Мы только записали первый сомножитель и ещё нужно найти Основные правила дифференцирования - student2.ru Поэтому, мы должны были написать

Основные правила дифференцирования - student2.ru .

Далее требуется найти аналогично производную «укороченной» функции Основные правила дифференцирования - student2.ru по тому же алгоритму. Поскольку алгоритм один и тот же, рассуждаем аналогично: перед нами функция Основные правила дифференцирования - student2.ru (промежуточный аргумент Основные правила дифференцирования - student2.ru теперь равен Основные правила дифференцирования - student2.ru производная равна Основные правила дифференцирования - student2.ru и так далее, пока не дойдём до окончательного, независимого, аргумента Основные правила дифференцирования - student2.ru :

Основные правила дифференцирования - student2.ru Основные правила дифференцирования - student2.ru

= Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Или с подробными объяснениями:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Читатель видит, что если всё делать подробно, то приходится одно и то же переписывать несколько раз. Это не рационально. Поэтому все промежуточные выкладки, которые мы заключили в скобки, держим «в уме», результат записываем сразу весь без повторений:

Основные правила дифференцирования - student2.ru

Нетрудно понять, что как бы громоздка ни была функция, её дифференцирование не представляет труда – ведь на каждом следующем применении формулы производной сложной функции, функция «укорачивается».

Наши рекомендации