Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Рассмотрим систему сил (F₁, F₂, F₃, … ,F_n), расположенных в одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое число практических задач техники. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, согласно основной теореме статики (§ 4.2), приведем рассматриваемую систему сил к одной силе

, (5.1) равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту

М_О=∑М_О(F_k), (5.2) где М_О (F_k) – момент силы F_k относительно центра приведения[†].

Так как силы расположены в одной плоскости, то сила F_О также лежит в этой плоскости. Момент же пары М_О направлен перпендикулярно этой плоскости, так как сама пара расположена в плоскости действия рассматриваемых сил. Таким образом, для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу.

При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в плоских системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту пары. Момент пары полностью характеризуется алгебраической величиной М_z, равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если "вращение" пары происходит против ходачасовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами, за момент пары в плоских системах принимается проекция вектора момента пары на ось z, перпендикулярную плоскости действия сил.

Пусть, например, даны две пары, (F₁,F'₁) и (F₂,F'₂); тогда согласно данному определению имеем

М_z(F₁,F'₁)=h₁F₁,

М_z(F₂,F'₂)= – h₂F₂. (5.3)

Аналогично, моментом пары относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции момента вектора момента на ось, перпендикулярную плоскости, т.е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. будет

М_Оz(F₁)=h₁F₁,

М_Оz(F₂)= – h₂F₂. (5.4)

Индекс z в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов.

Модули же момента пары и момента силы обозначаются следующим образом:

М(F₁,F'₁)=|М_z(F₁,F'₁)|,

М_О(F)=| М_Оz(F)|.

Исходя из этих определений, для нахождения главного момента вместо формулы (5.2) будем пользоваться формулой

М_Оz=∑ М_Оz(F_k). (5.5)

Формула (4.14), определяющая изменение главного момента при перемене центра приведения, примет вид

М_О1z= М_Оz + М_О1z(F_О). (5.6)

Для аналитического определения главного вектора применяются формулы:

F_Ох=∑F_kх=F_1х+F_2х+ … + F_пх,

F_Оу=∑F_kу=F_1у+F_2у+ … + F_пу, (5.7)

, (5.8)

соs(х,F_О)=F_Ох/F_О, соs(у,F_О)=F_Оу/F_О. (5.9)

Согласно формулам (5.5) и (3.11) главный момент равен

, (5.10) где х_k, у_k – координаты точки приложения силы F_k.

Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т.е. приводится к равнодействующей.

Пусть для выбранного центра приведения главный вектор и главный момент не равны нулю, т.е. F_О≠0, М_Оz≠0. Дуговая стрелка на рис. символически изображает пару с моментом М_Оz. Пару сил, момент которых равен главному моменту, представим в виде двух сил F₁ иF'₁, равных по модулю главному вектору F_О, т.е. F₁= F'₁= F_О. При этом одну из сил (F'₁), составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы F_О. Тогда система сил F_О и F'₁ эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе F₁,приложенной к точкеО₁; эта сила и является равнодействующей. В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой R, т.е F₁= – R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра приведения до линии действия равнодействующей можно найти из условия | М_Оz| =hF_О, т.е.

.

Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент пары сил (F₁,F'₁) совпадал с главным моментом М_Оz. В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:

1. F_О≠0, М_Оz≠0.

В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис.

2. F_О≠0, М_Оz=0.

В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через центр приведения.

3. F_О=0, М_Оz≠0.

При этом система сил эквивалентна одной паре сил.

4. F_О=0, М_Оz=0.

В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т.е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.

Для системы сил, которая приводится к равнодействующей, справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей силе R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве точки приведения другую точку О₁. Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил:

М_О1z=∑ М_О1z(F_k). (5.11)

С другой стороны, на основании формулы (5.6) имеем

М_О1z= М_О1z(R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (М_Оz=0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем

М_О1z(R)=∑ М_О1z(F_k); (5.13) это и доказывает сформулированную теорему.

При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R₁ приложена в какой-либо точке О₁ с координатами х и у и известны главный вектор F_О и главный момент М_Оz при центре приведения в начале координат. Так как R₁=F_О, то составляющие равнодействующей по осям х и у равны R_1х=F_Ох=F_ОхiиR_2у=F_Оу= F_Оуj. Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т.е.

М_Оz= М_Оz(R₁)=х F_Оу – у F_Ох. (5.14). Величины М_Оz, F_Ох и F_Оу при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и у в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. При F_Ох≠0 его можно переписать в виде

У= (F_Оу/F_Ох)·х – М_Оz/F_Ох.

Задача 5.1.Равнодействующие Ри Fсил давления воды на гравитационную плотину приложены в вертикальной плоскости симметрии перпендикулярно соответствующим граням на расстояниях Н=4 м и h=2,4 м от основания. Сила тяжести G₁ прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила тяжести G₂ треугольной части – на расстоянии одной трети от вертикальной грани треугольного сечения.

Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина, если Р=20000 кН, F=13000 кН, G₁=30000 кН, G₂=15000 кН, а=5 м, b=10 м, tg α=5/12.

Прежде всего найдем равнодействующую заданных сил Р, F, G₁ и G₂, приложенных к плотине. Для вычисления главного вектораF_О и главного момента М_Оz относительно начала координат нам понадобятся значения sinα, cоsα и координаты точки А. Так как tg α=5/12, то sinα=5/13, cоsα=12/13. По условию задачи у_А=h=2,4 м. Из треугольника АВС найдем СВ=h tg α=1 м. Следовательно, х_А=9 м. Согласно формулам (5.7) и (5.10) имеем

F_Ох=Р – Fcоsα=8000 кН,

F_Оу= – G₁ – G₂= – 50000 кН,

М_Оz= – РН – G₁·а/2 – G₂·[a+(b – a)/3+x_AF_y – y_AF_x= – 272000 кН.

Главный вектор не равен нулю, поэтому система заданных силР, F, G₁, G₂, приложенных к плотине, приводится к равнодействующей R₂=F_О, модуль которой равен

R=F_О=√ F²_Ох+ F²_Оу≈50600 кН.

Уравнение линии действия равнодействующей найдем по формуле (5.14)

25х+4у – 136=0.

На рис. показана равнодействующая R заданных сил, приложенных к плотине. Равнодействующая реакции грунта действует по той же прямой, но она направлена в сторону, противоположную R. Модули этих сил, конечно, равны между собой.