Линейная функция, ее свойства и график
Функция, заданная формулой , где к и b - некоторые числа, называется линейной.
Коэффициент к=tgα характеризует угол α, который образует прямая с положительным направлением оси ОХ, и называется угловым коэффициентом. Если к>0, то угол острый; если к<0, то угол тупой; если к=0, то прямая совпадает с осью Оx или ей параллельна.
Свойства:
1. D(y)=R.
2. Е(y)=R.
3. Функция ни четная, ни нечетная, т.к. не является четной;
не является нечетной.
4. у = 0 при (нули функции).
5. Промежутки знакопостоянства:
§ если к > 0, у < 0 при ; у > 0 при
;
§ если к < 0, у < 0 при ; у > 0 при
.
6. Функция возрастает при к>0 и убывает при к<0 на R.
7. Функция неограниченна, непрерывна.
Графиком функции является прямая. Для ее построения можно найти точки пересечения с осями координат:
§ с осью ОХ: у = 0, А(
; 0);
§ с осью ОУ: х = 0, у = b В(0; b).
График функции может быть построен с помощью параллельного переноса на |b| единиц вверх (b>0), или вниз (b<0) графика функции
. Зависимость
называется прямой пропорциональностью.
Рассмотрим частные случаи линейной функции.
Если b = 0, то ![]() | Если k=0, то y=b. |
Свойства: 1. D(y)=R. 2. Е(y)=R. 3. Функция нечетная, т.к. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Свойства: 1. D(y)=R. 2. Е(y)=b. 3. Функция четная, т.к. ![]() ![]() ![]() |
Функция , ее свойства и график
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где
- коэффициент обратной пропорциональности.
Свойства:
1. D(у) = .
2. Е(у) = .
3. Нечетная, т.к. .
4. Промежутки знакопостоянства:
§ если k > 0, то y > 0 при ;
y < 0 при ;
§ если k < 0, то y > 0 при ;
y < 0 при .
5. Монотонность:
§ при функция возрастает на
и
;
§ при функция убывает на
и
.
Графиком обратной пропорциональности является кривая, состоящая из 2-х ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой.
Функция ее свойства и график
Функция вида ,где а – некоторое число, а
0, называется квадратичной.
График функции может быть получен с помощью графика функции
:
§ если а>1 , то растяжение вдоль оси Оу в а раз;
§ если 0<a<1, то сжатие вдоль оси Оу в раз;
§ если а<0, то симметрично относительно оси Ох.
Рассмотрим свойства и график функции в зависимости от знака а.
а > 0 | а < 0 |
1. Д (у) = R. 2. E (y) = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 1. Д (у) = R. 2. E (y) = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Графики функций и
. Преобразование графика
Графиком функции является парабола, которая может быть получена из графика функции
с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на |n|единиц вверх, если n>0; или на
единиц вниз, если n<0.
Рассмотрим графики функции при a > 0.
n > 0 | n < 0 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рассмотрим графики функции при a < 0.
n > 0 | n < 0 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Графиком функции является парабола, которая может быть получена в результате параллельного переноса графика функции
вдоль оси Оx на |m| единиц вправо, если m>0; или на |m| единиц влево, если m<0.
a > 0 | a < 0 |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
График функции может быть получен с помощью 2-х параллельных переносов описанных выше.