Понятие функции. Область определения. Область значений. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции
Операции над множествами
Пусть и — произвольные множества.
Объединением или суммоймножеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и . Объединение множеств и обозначается символом .
Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству , Пересечение множеств и обозначается через .
Разностьюмножеств и называется множество , состоящее из всех элементов, множества , не принадлежащих множеству . Разность обозначается как .
Если , то разность называется дополнениеммножества до множества и обозначается .
Для наглядности множества нередко изображают в виде некоторой совокупности точек на плоскости. На рис. 1а изображены множества и , на рис. 1б — их объединение, на рис. 1в — пересечение множеств и , на рис. 1г — разность множеств и , на рис. 1д — дополнение множества до множества .
а) б) в)
г) д)
Рис. 1
Пусть задана система множеств , где значения образуют некоторую совокупность индексов . Объединением множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств . Пересечением множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежщих одновременно всем множествам .
Пример. Пусть , , , где — множество натуральных чисел. Тогда
, , ,
, ,
, , ,
, , , , .
Понятие функции. Область определения. Область значений. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции.
Понятие функции
Если каждому значению переменной из некоторого множества ставится в соответствие по известному закону единственное число , то говорят, что на множестве задана функция или .
При этом называется аргументом функции, множество — областью задания функции . Число , которое соответствует данному значению аргумента , называется частным значением функции в точке . Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество , называемое множеством значений функции.
Функция называется четной (нечетной), если для любого из области определения функции справедливо равенство ( ).
Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого из области определения функции справедливо равенство . Наименьшее из чисел называют периодом функции.
Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое число , что для любого справедливо неравенство .
Для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строят графики функции.
Графиком функции называется множество точек на плоскости с координатами , .
Простейшими элементарными функциями называются следующие функции: степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические функции , , , и обратные тригонометрические функции , , , . Свойства этих функций и их графики смотрите в [1] § 5.4.
Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией этих функций.
Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем называть сложными функциями. Например, сложная функция образована в результате суперпозиции функций и .
Элементарными функциями называются функции, полученные в результате суперпозиции простейших элементарных функций и арифметических действий.