Править]Алгебраические свойства векторного произведения

Представление Описание
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru свойство антикоммутативности
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru свойство дистрибутивности по сложению
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru тождество Якоби, выполняется в Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru и нарушается в Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru  
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru Это частный случай мультипликативности Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru нормы кватернионов
Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru значение этого выражения называют смешанным произведением векторов Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru , Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru , Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru и обозначают Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru либо Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

№12

Сме́шанное произведе́ние Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru векторов Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru — скалярное произведение вектора Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru на векторное произведение векторов Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru и Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru :

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru .

Свойства

· Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

· Смешанное произведение Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru и Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru :

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

· Смешанное произведение Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru и Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru , взятому со знаком «минус»:

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

В частности,

· Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.

· Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

· Геометрический смысл — Смешанное произведение Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru и Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

· Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими[1]:215.

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

Три вектора, определяющие параллелепипед.

· Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

Править]Алгебраические свойства векторного произведения - student2.ru

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

№13

2.1. Определители второго порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 2 × 2

a11 a12

a21 a22

(2.1)

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице (2.1),

называется число, равное a11a22 − a12a21 и обозначается как

a11 a12

a21 a22

Таким образом, по определению

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21 (2.2)

Элементы., составляющие матрицу данного определителя, называются элемен-

тами этого определителя.

Покажем, что для того, чтобы определитель второго порядка был равен

нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов) были

пропорциональны.

Действительно, каждая из пропорций a11/a21 = a12/a22 и a11/a12 = a21/a22

эквивалентна равенству a11a22 − a12a21 = 0, а последнее равенство в силу (2.1)

эквивалентно обращению в нуль определителя.

2.2. Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 3 × 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(2.3)

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (2.3),

называется число равное

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 (2.4)

и обозначаемое символом

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Наши рекомендации