Каноническая форма одношаговых итерационных методов.
На примере методов Якоби и Зейделя видно, что итерационный метод можно записать различными способами. Целесообразно ввести некоторую стандартную форму его записи. Канонической формой одношагового итерационного метода решения системы (6.1) называется его запись в виде
, . (6.12)
Здесь матрица, задающая тот или иной итерационный метод, итерационный параметр. Предполагается, что задано начальное приближение и что существует матрица . Тогда из уравнений (6.12) можно последовательно определить все . Для нахождения по известным и достаточно решить систему уравнений
, где
Итерационный метод называется явным если и неявным, если . Неявные методы сходятся более быстро.
Итерационный метод (6.12) называется стационарным, если и не зависит от номера итерации, и нестационарным – в противном случае.
Приведем еще несколько примеров итерационных методов.
Метод простой итерации с постоянным параметром :
(6.13)
Итерационный метод Ричардсона с переменным параметром :
(6.14)
Обобщением метода Зейделя (6.11) является метод верхней релаксации
, (6.15)
где заданный числовой параметр. Можно показать, что в случае положительно определенной матрицы метод (6.15) сходится при .
Для получения расчетных формул перепишем (6.15) в виде
.
В покомпонентной записи получим (доказать)
, .
Отсюда последовательно, начиная с , находим все :
,
,
и т.д.
Исследование сходимости итерационных методов.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
, (6.16)
и одношаговый стационарный итерационный метод, записанный в форме
, , задан (6.17)
Говорят, что итерационный метод (6.17) сходится, если при . Под нормой вектора будем понимать среднеквадратичную норму
Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода (6.17). Погрешность метода на -ой итерации характеризуется вектором , который согласно (6.16), (6.17) удовлетворяет однородному уравнению
, , . (6.18)
Теорема 1. Пусть симметричная положительно определенная матрица, и пусть выполнено неравенство
, (6.19)
что означает . Тогда итерационный метод (6.17) сходится.
Без доказательства.
Применим Теорему 1 к конкретным итерационным методам, рассмотренным в предыдущем параграфе. Метод Якоби имеет следующий канонический вид:
. (6.22)
Таким образом, в данном случае , и условие сходимости .
Следствие 1. Пусть симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, т.е.
, , (6.23)
тогда метод Якоби сходится. Без доказательства.
Следствие 2.Пусть симметричная положительная определенная матрица. Тогда метод верхней релаксации
сходится при условии . В частности, метод Зейделя сходится.
Доказательство. Метод верхней релаксации приводится к каноническому виду (6.17) с , . Напомним, что исходная матрица представляется в виде суммы , где нижняя треугольная, верхняя треугольная и диагональная матрицы. Для симметричной матрицы матрица является транспонированной к , поэтому
.
Условие сходимости (6.19) принимает вид
и выполняется при .