Максимум и минимум функций

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений f(x₁ +D x) < f(x₁) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом D х (D х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь локальный максимум (локальный минимум) только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Необходимо различать максимум (минимум) функции и её наибольшее (наименьшее) значение на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум. Тогда при достаточно малых положительных D х > 0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

.

Т.е. если D х ® 0, но D х < 0, то f¢(x₁) ³ 0, а если D х ® 0, но D х > 0, то f¢(x₁) £ 0.

А это возможно только в том случае, если при D х ® 0 f¢(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично. Теорема доказана.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема (достаточные условия 1 существования экстремума).Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁). Тогда если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство. Пусть

По теореме Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f¢(с)(x – x₁), где x < с < x₁.

Тогда: 1) если х < x₁, то с < x₁; f¢(с) > 0; f¢(с)(x – x₁) < 0, следовательно

f(x) – f(x₁) < 0 или f(x) < f(x₁).

2) если х > x₁, то с > x₁ f¢(с) < 0; f¢(с)(x – x₁) < 0, следовательно

f(x) – f(x₁) < 0 или f(x) < f(x₁).

Таким образом, значение функции f(x) в точке х₁ является наибольшим на интервале , т.е. f(x) < f(x₁) в всех точках вблизи х₁. Это означает, что х₁ – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема (достаточные условия 2 существования экстремума).Если в точке х₁ первая производная функции f(x) равна нулю ( f¢(x₁) = 0), а вторая производная в точке х₁ существует и отлична от нуля ( f¢¢(x₁) ≠ 0), то функция f(x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f¢¢(x₁) < 0 и минимум, если f¢¢(x₁) > 0.

Доказательство. Пусть f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁) < 0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x₁) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х₁.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х₁, но f¢(x₁) = 0, т.е. f¢(x) > 0 при х < x₁ и f¢(x) < 0 при x > x₁. Это и означает, что при переходе через точку х = х₁ производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.