Основные способы решения уравнений

Функции и графики

Основные обозначения и определения.Множество всех действительных чисел будем обозначать через R. Часто мы будем рассматривать не все множество R, а некоторые его подмножества. Тот факт, что множество А содержится во множестве R, обозначают через . Например, для множества всех целых чисел Z справедливо включение . В общем случае числовое множество А задается так: , где Р(х) — некоторое свойство, которому удовлетворяют элементы множества А и только они. Например, отрезок от 1 до 2 можно определить так: . Числовые множества связывают друг с другом посредством функций.

Определение. Пусть . Функцией f на множестве А будем называть правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственное число f(х) (функцию обозначают f: ). При этом множество А называют областью определения функции f и обозначается через D(f). Графиком функции f : называют следующее подмножество координатной плоскости Г(f) = .

Часто правило, о котором идет речь в определении функции, является алгебраическим выражением от переменной х. В этом случае мы будем говорить, что функция задана формулой. Вспомним некоторые функции, их свойства и графики.

Пример 1. Линейная функция задается формулой

f(х)=kx + b. D(f)=R. Г(f) — прямая. Смысл коэффициентов k и b следующий: k = tga, где a угол наклона Г(f) к оси Ох, а b задает смещение Г(f) относительно начала координат вдоль оси Оу (проще говоря, b = f(0)). При k = 0 прямая Г(f) параллельна оси Ох.

Пример 2. Формула при

задает квадратичную функцию. D(f)=R. Г(f) -парабола.

Знак коэффициента а, как известно, указывает на

направление ветвей параболы, с = f(0) — ордината

точки пересечения параболы с осью Оу. С осью абсцисс

Г(f) пересекается только при условии

в точках . Вершина параболы имеет координаты (х₀, у₀), где , а .

Пример 3. Областью определения квадратного корня, т.е. функции , является R⁺ = . Г(f) может быть получен симметрией относительно прямой у = х из

графика функции , рассмотренной на множестве R⁺.

Пример 4. Функция обратной пропорциональной зависимости задается формулой , где . , Г(f) — гипербола, расположенная в первом и

третьем координатных углах при при k > 0, и во втором и четвертом - k < 0.

Пример 3. Функция абсолютной величины, или модуля, определяется следующим образом

f(x) = |x| = x, если ,

- х, если .

Из определения немедленно следует неравенство при всех . Кроме того , при решении некоторых уравнений полезно помнить о геометрическом свойстве модуля: |x| - это расстояние на числовой прямой от х до 0.

Основные способы решения уравнений

Уравнение с одной переменной в общем виде выглядит так:

, (1)

где - некоторые алгебраические выражения. Областью допустимых значений (сокращенно — ОДЗ) этого уравнения называют общую часть множеств и , т. е. Все такие х, для которых одновременно определены левая и правая части уравнения. Корнем уравнения (1) (или его решением) называется такое х₀, что верно числовое равенство . Уравнения и называются равносильными (обозначается факт равносильности так: ) , если множества их решений совпадают. Например, |x|=1. Рассмотрим нескольких стандартных способов решения уравнений.

I. Переход к совокупности уравнений. Через А обозначим ОДЗ уравнения . Тогда на множестве А это уравнение равносильно совокупности уравнений и (решением совокупности является объединение решений каждого из ее уравнений). Например,

II. Замена переменной. Начнем с примера . Предположим, что нам необходимо решить уравнение

.

Сделаем замену . Тогда . Поэтому данное уравнение сводится к . Откуда у =1 или . Делая обратную замену, обнаруживаем, что корень у = 1 не дает решений относительно х, а из получим два искомых корня: х = 2, х = .

Итак, суть метода замены переменной в следующем: (а) выделение некоторого выражения относительно х (т. е. преобразование уравнения к равносильному ); (б) нахождение {y₁, …..y_n} — множества всех решений уравнения , где ; (в) «обратная замена», т.е. нахождение решения совокупности уравнений .

Далее рассмотрим несколько типичных иррациональных уравнений с модулем.

III. ,

. Нетрудно заметить, что из последнего условия следует . Поэтому при решении иррационального уравнения этим методом не надо находить ОДЗ исходного уравнения. Решим уравнение

Х х = -1.

IV.

Справедливость этого метода сразу следует из геометрического свойства модуля.

Например,

V. . Для решения этого уравнения достаточно воспользоваться следующим алгоритмом.

1. На прямой нанести нули подмодульных выражений, а также точки, в которых подмодульные выражения не определены. 2. На каждом из получившихся промежутков определить знаки подмодульных выражений. 3. В соответствии со знаками из предыдущего пункта на каждом из промежутков раскрыть модули.

Решим уравнение Второе подмодульное выражение обращается в ноль только при , первое всегда отлично от нуля. Кроме того, в точке х = 0 подмодульные выражения не определены. Знаки подмодульных выражений на каждом из четырех промежутков легко определяются подстановкой внутренних точек.

Раскроем теперь модули на каждом из промежутков.

1 случай: . После раскрытия модулей получим . Последнее уравнение преобразуется к уравнению без корней.

2 случай: . На этом промежутке имеем . Это уравнение имеет корень , который лежит в рассматриваемом промежутке.

3 случай: . Получаем или .

4 случай: . Раскрывая модули на этом последнем промежутке, получим уравнение . Оно сводится к квадратному уравнению с корнями х = - 4 и х = 2. Условию удовлетворяет только х = 2.

Итак, искомые решения составляют множество { }

Метод интервалов

Метод интервалов используется при решении неравенств довольно общего вида: f(x) V g(x), где V — знак ≤, ≥, <, >. Единственным ограничением на функции f и g является требование их непрерывности. Отметим, что все элементарные функции непрерывны на своей области определения.