Кинематический анализ плоских рычажных

МЕХАНИЗМОВ

Кинематический анализ механизма выполняется либо для заданного момента времени, либо для заданного положения входного звена; иногда для анализируемого положения механизма задают взаимное расположение каких-либо его звеньев.

Целью кинематического анализа механизма является:

1) Определение положений звеньев и каких-либо выбранных точек этих звеньев.

2) Определение скоростей и ускорений этих точек, а также угловых скоростей и угловых ускорений звеньев.

3) Изучение траекторий движения выбранных точек.

Исходными данными при анализе являются:

1) Кинематическая схема механизма.

2) Размеры и иные геометрические параметры звеньев (но только такие, которые не изменяются при движении механизма).

3) Законы движения входных звеньев (или параметры движения, например, угловая скорость и угловое ускорение входного звена в выбранном для анализа положении механизма).

Для механизмов, подчиняющихся классификации Л. В. Ассура, порядок кинематического анализа определяется формулой строения: вначале находят параметры движения начальных механизмов и затем – структурных групп в порядке следования их в формуле строения. Здесь следует руководствоваться простым правилом: кинематика любогоэлемента формулы строения может быть изучена только после того, как она изучена для всех предшествующих в этой формуле элементов.

Из множества применяемых методов анализа наиболее широко используют аналитические и графоаналитические методы. Из графо-аналитических методов в силу своей наглядности и простоты наиболее употребителен метод планов скоростей и ускорений, тем более что результаты графических построений нередко допускают их обработку точными аналитическими методами.

Теоретические основы метода планов
скоростей и ускорений

Векторный план – это графическое изображение векторного равенства. Построение плана всегда выполняется при строгом соблюдением длин и направлений векторов.

В основу кинематического анализа плоских механизмов положена теория плоскопараллельного движения твердого тела и теория сложного движения точки. В соответствии с этим рассмотрим два случая.

· Две точки A и B принадлежат одному звену, совершающему плоскопараллельное движение.

Скорости этих точек удовлетворяют формуле

. (2.1)

На рис. 2.1 изображен возможный вид плана скоростей по уравнению (2.1); здесь – полюс плана, в который помещают начала векторов абсолютных скоростей всех интересующих нас точек. Скорости и могут быть любыми, но концы этих векторов на плане обязательно находятся на одной прямой, перпендикулярной линии AB на звене, т.е. . Кроме того, скорость связана с величиной и направлением угловой скорости этого звена

; (2.2)

здесь нужно учитывать, что относительная скорость направлена на ту букву плана, которая в обозначении вектора стоит первой (в данном случае – по линии ab на букву b плана).

Рис. 2.1

Если скорости двух точек AиB звена известны, то для нахождения скорости любой третьей точки C этого же звена можно воспользоваться соотношением подобия: ˆ .

Соотношение для ускорений точек A и B получим, продифференцировав (2.1):

; (2.3)

нормальное относительное ускорение всегда направлено вдоль вектора и его величина

. (2.4)

Вектор (или ); его величина и направление устанавливаются по результату построения плана ускорений (рис. 2.1); тогда угловое ускорение звена

. (2.5)

Если ускорения точек A и B были найдены, то для любой третьей точки C можно воспользоваться соотношением подобия по аналогии с тем, которое применили при построении плана скоростей: ˆ .

· Два звена, участвующих в плоскопараллельном движении, образуют поступательную пару.

Абсолютное движение звена 3 (рис. 2.2) относительно неподвижной плоскости может быть каким угодно (в частности, звено может быть неподвижным, или неподвижной может быть только точка B этого звена и т.д.). Но в любом случае это движение можно считать сложным, получающимся в результате сложения двух движений: плоскопараллельного движения направляющей 2 (переносного) и прямолинейного поступательного движения звена 3 по направляющей (относительного).

Рис. 2.2

Для скорости точки B звена 3 отмеченный факт отражают в такой записи:

; (2.6)

здесь – абсолютная скорость точки B звена 3;

– скорость точки B в переносном движении в данный момент времени (по определению – это абсолютная скорость той точки B₂ направляющей 2, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка B);

– скорость перемещения звена 3 по направляющей 2.

Важно отметить, что абсолютные скорости точек B и B₂ могут быть любыми, но концы векторов и на плане скоростей (рис. 2.2) всегда будут находиться на одной прямой, параллельной направляющей 2, т.е. , или (скорость на плане направлена по прямой в сторону точки b).

Чтобы получить требуемое соотношение для ускорений точек B и B₂, продифференцируем (2.6); учитывая, что

; ; ,

получим

; (2.7)

в этом уравнении:

– абсолютное ускорение точки B звена 3;

– ускорение точки B в переносном движении в данный момент времени (абсолютное ускорение той точки B₂ направляющей 2, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка B);

– ускорение в движении звена 3 по направляющей 2 (если направляющая 2 прямолинейна, как в нашем случае, то , или );

– ускорение Кориолиса (поворотное ускорение), возникает при перемещении точки по звену, движущемуся непоступательно; для нашего случая

; (2.8)

направление ускорения совпадает с направлением вектора , повернутого на 90° в сторону переносной угловой скорости (отметим, что при соединении звеньев с помощью поступательной пары их угловые скорости и ускорения одинаковы, т.е. , ).

Заметим, что рассмотренных двух типов кинематических соотношений достаточно для исследования кинематики любой плоской структурной группы.

Таблица 2.1

Определение скоростей и ускорений для структурных групп второго класса

Вид группы	Схема структурной группы	Требуется определить	Уравнения для определения линейных и угловых скоростей	Уравнения для определения линейных и угловых ускорений
1-й вид	Известны: положения точек A и C; скорости и ; ускорения и .	положение точки B; ; ; .	; ; ; .	; ; ; ; ; ; ; .
2-й вид	Известны: положение точки A и звена 4; скорость , угловая скорость , скорость любой точки звена 4; ускорение , угловое ускорение , ускорение любой точки звена 4.	положение точки B; ; ; ; параметры относительного движения звеньев 3 и 4.	; ;	; ; ; ; ; ; ; .

Продолжение табл. 2.1

3-й вид	Известны: положения точек A и B; скорости и ; ускорения и .	положения звеньев 2 и 3; параметры относительного движения звеньев 2 и 3; ; .	; ; ; ; .	; ; ; ; ; ; ; .
4-й вид	Известны: положения звеньев 1 и 4; угловые скорости и ; угловые ускорения и ; скорости и ускорения любых точек звеньев 1 и 4.	положение точки B; ; ; ; параметры относительного движения звеньев в поступательных парах.	; ; ; ;	; ; ; ; ; ; ; .

Окончание табл. 2.1

5-й вид	Известны: положения точки B и звена 4; скорость ; угловая скорость ; ускорение ; угловое ускорение ; скорость и ускорение любой точки звена 4.	положения звеньев 2 и 3; параметры относительного движения звеньев в поступательных парах; ;	; ; .	; ; ; ; ; ; .

Вопросы для самопроверки

1. Опишите последовательность кинематического анализа плоского механизма.

2. Запишите уравнения планов скоростей и ускорений для любой структурной группы II класса, содержащей внутреннюю поступательную пару.

3. Запишите уравнения планов скоростей и ускорений для любой структурной группы II класса, содержащей хотя бы одну внешнюю поступательную пару.

4. Как определяют величину и направление ускорения Кориолиса?

5. В каких случаях при построении планов скоростей и ускорений применяют метод подобия?

6. По какому признаку можно установить, является ли равномерным (или неравномерным) относительное движение звеньев, образующих поступательную пару?

Задачи Задача 2.01 Для некоторой структурной группы имеется уравнение плана скоростей . Написать для этой группы: 1) уравнение плана ускорений; 2) формулы для вычисления угловой скорости и углового ускорения звена 3.
Задача 2.02 Кривошип OA механизма вращается равномерно; обозначить полюс и все векторы плана ускорений. Считая все постоянные размеры звеньев заданными, нанести на этот план вектор ускорения точки C.
Задача 2.03 Кривошип OA механизма вращается равномерно; обозначить полюс и все векторы плана ускорений. Считая все постоянные размеры звеньев заданными, указать на прямой AB звена 2 такую точку C, ускорение которой направлено, как показано на рисунке (написать формулу, по которой вычисляется положение этой точки на звене). Нанести соответствующую точку на план ускорений.
Задача 2.04 На плане скоростей кривошипно-кулисного механизма отметить полюс и векторы скоростей всех обозначенных на схеме точек. Найти для изображенного положения механизма точную величину отношения ( ), если OA = OB.

Задача 2.05 Для структурной группы имеется уравнение плана ускорений . Написать для этой группы: 1) уравнение плана скоростей; формулы для расчета угловой скорости и углового ускорения ; 2) формулы для расчета нормального и кориолисова ускорений.
Задача 2.06	В рассматриваемом положении механизма звенья 1 и 3 вертикальны, звено 2 горизонтально. Звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью =10 рад / с. Длины звеньев: AB = BC = 2×OA. Найти величину и направление углового ускорения звена 2.
Задача 2.07 В рассматриваемом положении механизма звенья 1 и 3 вертикальны, звено 2 горизонтально. Звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью =10 рад / с. Длины звеньев: AB = BC = 2×OA. Найти величину и направление углового ускорения звена 2.
Задача 2.08	Определить скорость и ускорение точки B звена 2; указать направления обоих векторов для заданного положения механизма. Исходные данные: ; ; ; кривошип в текущем положении вертикален.

Задача 2.09	Для механизма крестово-кулисной муфты определить скорость и ускорение точки B звена 3; указать направления обоих векторов. В текущем положении механизма зве- но 1 вертикально и вращается равномерно с угловой скоростью ω1 = 10 рад/с, звено 3 отклонено от вертикали на угол . Размер АВ = 0.3 м.
Задача 2.10	В текущем положении механизма угол ползун 1 движется равномерно. Размеры звеньев: длина кривошипа , длина шатуна . Определить точное соотношение угловых ускорений звеньев в указанном положении.
Задача 2.11(см. рисунок к задаче 2.10) Установить величину отношения угловых ускорений звеньев 2 и 3 при равномерном движении ползуна 1 в изображенном положении кривошипно-ползунного механизма (т.е. при угле ). Соотношение длин звеньев: .
Задача 2.12(см. рисунок к задаче 2.10) Доказать, что при равномерном движении ползуна 1 в изображенном положении механизма (т.е. при угле ) угловые ускорения звеньев 2 и 3 одинаковы по величине и направлению.
Задача 2.13 Кривошип 1 вращается с угловым ускорением ; при каком значе-нии его угловой скорости ползун 3 в рассматриваемом положении механизма (т.е. при угле ) будет двигаться равномерно? Соотношение длин звеньев: .

Задача 2.14

Для кинематической цепи известны: размеры звеньев BC и h; положение, скорость и ускорение точки A; положение (угол a), угловая скорость и угловое ускорение звена 2; положение, скорость и ускорение точки B.

Описать порядок построения положения точки С; написать уравнения планов скоростей и ускорений, в результате решения которых будут найдены скорость и ускорение точки С, а также угловая скорость и угловое ускорение звеньев 3 и 4.

Задача 2.15	Для кинематической цепи известны: размеры звеньев BC и h; положение, скорость и ускорение точки A; положение, скорость и ускорение точки B. Написать совокупность векторных уравнений и скалярных зависимостей для определения скорости и ускорения точки С.
Задача 2.16 Взаимное расположение шарниров O и C таково, что при звено AB горизонтально и OA CB. Установить соотношения угловых скоростей звеньев ( ) и ( ) для указанного положения механизма. Размеры звеньев: OA=AB=CB.
Задача 2.17 Размеры звеньев механизма: OA=AB=CB; взаимное расположение шарниров O и C таково, что при звено AB горизонтально и OA CB. Установить соотношения угловых скоростей звеньев ( ) и ( ) для указанного положения механизма.

Задача 2.18	Написать все уравнения, необходимые для нахождения скорости и ускорения точки C звена 2 методом планов; при написании векторных уравнений указать, в какой мере известны те или иные векторы, входящие в него. Геометрические параметры звеньев считать заданными, а положения, скорости и ускорения точек A и B – известными для текущего момента времени.
Задача 2.19 Для секансного механизма определить скорость точки A в положении, определяемом углом . Размер ; входное звено вращается с угловой скоростью .
Задача 2.20(см. рисунок к задаче 2.19) Для секансного механизма определить скорость скольжения в поступательной паре (1-2) в положении, определяемом углом . Размер ; входное звено вращается с угловой скоростью .
Задача 2.21 Для синусного механизма определить аналитически скорость и ускорение точки B в положении, определяемом углом . Размеры , ; входное звено вращается с угловой скоростью .

	Задача 2.22 Для синусного механизма определить аналитически скорость и ускорение в относительном движении ползуна 2 по звену 3 в положении, определяемом углом . Размер ; входное звено вращается с угловой скоростью .
Задача 2.23 Для тангенсного механизма найти аналитически скорость точки A в положении, определяемом углом . Размер ; кулиса 1 вращается с угловой скоростью .
Задача 2.24(см. рисунок к задаче 2.23) Для тангенсного механизма найти аналитически скорость скольжения в поступательной паре (1-2) в положении, определяемом углом . Размер ; кулиса 1 вращается с постоянной угловой скоростью .
Задача 2.25	Рычаг длиной OA=0.5 м вращается ускоренно; скорость его конца = 2 м/с, вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости. Определить угловое ускорение e рычага.
Задача 2.26(см. рисунок к задаче 2.25) Рычаг длиной OA=0.5 м вращается ускоренно; скорость его конца = 2 м/с, вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости. Определить величину ускорения .