Эллинистическая Греция в годы детства 1 страница

Электронная библиотека научной литературы по гуманитарным

дисциплинамwww.vusnet.ru\biblio

Мы приглашаем Вас активно пользоваться Эл. библиотекой РГИУ. В Вашем распоряжении более 4000 полновесных текстов книг и статей, более 70 словарей. Любую книгу библиотеки вы можете свободно скачать и сохранить у себя на ПК.

Об учебном портале РГИУ.www.vusnet.ru

Если вы хотите получить первое или второе высшее образование, мы рекомендуем поступить учиться в РГИУ. Вы получите хорошее образование, гос.диплом аккредитованного Московский вуза, сэкономите временя и деньги.

Обучение проходит в Интернете, где Вам доступны учебники, специально подготовленные для чтения на ПК и тесты. К каждому учебнику прилагаются: хрестоматия, библиография, Интернет-ресурсы, специальные статьи, словари. Инвалидам скидка - 20%.

В учебном Портале РГИУ имеется 90 общеобразовательных и профессиональных курсов. Они в вашем распоряжении. www.vusnet.ru

Если у Вас возникли вопросы, постараемся на них ответить. Если есть пожелания – непременно сообщите.

Пожалуйста, пишите на: [email protected], [email protected] Или звоните: (905) 7211213 (Елена).

АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР

Научно–популярная серия

БИОГРАФИИ

Профессор

С. Я. Лурье

Архимед

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР

МОСКВА — ЛЕНИНГРАД

Таблица 1. Архимед. Портретное изображение на медали. Из книги: «La Sicilia di Filippo Paruta descritta e ristampata con aggiunta da L. Agostini». Lione 1697, pl. 102

287—212

годы

До нашей эры

Оглавление

Стр.

Глава первая. Эллинистическая Греция в годы детства и юности

Архимеда ..................................................... 5

Глава вторая. «Начала» и «Конические сечения» Евклида............ 13

Глава третья. Александрийский Музей ............................. 42

Глава четвертая. Начало научной деятельности Архимеда .......... 60

Глава пятая. Архимед в Сиракузах .................................. 98

Глава шестая. Архимед и Демокрит................................. 137

Глава седьмая. Архимед при дворе Гиерона. Рим и Карфаген ........ 170

Глава восьмая. Поздние работы Архимеда ........................... 184

Глава девятая. Борьба с Римом. Гибель Архимеда ................... 214

Глава десятая. Архимед в истории математики ...................... 232

Библиографический указатель ....................................... 258

Глава первая

²

Эллинистическая Греция в годы детства

и юности Архимеда

«Тирания, это ужасное и гнусное бедствие, обязано своим происхождением только тому, что люди перестали ощущать необходимость в общем и равном для всех законе и праве. Некоторые люди, неспособные судить здраво, думают, что причины появления тиранов — другие и что люди лишаются свободы без всякой вины с их стороны только потому, что подверглись насилию со стороны выдвинувшегося тирана. Однако это ошибка... Как только потребность в общем для всех законе и праве исчезает из сердца народа, на место закона и права становится отдельный человек. И действительно, в каком же другом случае неограниченная власть могла бы попасть в руки отдельного человека? Такой человек, который захотел бы уничтожить право и устранить общий закон, должен был бы быть сделан из железа — человек, который вознамерился бы отнять эти блага у народа, он, один, у них, многих! Если же он сделан из плоти и крови и устроен так же, как другие люди, то он, конечно, не в состоянии это сделать. Но если потребность в равном для {5} всех законе и праве и без того исчезла, то такой человек может достичь неограниченной власти. Поэтому некоторые люди не замечают тирании даже тогда, когда она уже наступила».

Так характеризует неизвестный нам по имени философ конца V в. положение вещей, создававшееся в его время и достигшее полного развития во времена Архимеда, в III в. до н. э. Вместо множества совершенно самостоятельных городских общин с демократическим устройством, бассейн Средиземного моря в силу новых экономических условий объединился в несколько больших государств, каждое из которых управлялось неограниченным монархом; этому монарху обычно уже при жизни воздавались божеские почести. Такими государствами были Египет с главным городом Александрией, где правили Птолемеи, державшие себя, как преемники древних египетских «божественных» фараонов; Сирия с главными городами Антиохией и Селевкией, где правили Селевкиды; Македония, где правили Антигониды. Такое же монархическое государство, но меньшего масштаба, представляло собою государство восточной Сицилии — Сиракузы, где родился Архимед.

Сохранились в это время и прежние государства-города с их демократическим аппаратом, особенно на материке Греции; но, конечно, сохранить на сколько-нибудь продолжительное время действительную независимость, находясь в соседстве с такими колоссами, как Египет, Сирия и Македония, было невозможно. Как сообщает Плутарх, все богатства спартанского государства и его отдельных граждан, взятые вместе, были во много раз меньше, чем имущество какого-либо одного из приближенных сирийского царя.

Не следует думать, что все монархи этого времени были холодными злодеями и бессовестными негодяями. Правда, неограниченная власть развращала их; тем не менее, некоторые из них, быть может, искренно, увлекались культурой классического времени. Для прочих это «увлечение» было только модной фразеологией, в которую облекалось их стремление облегчить распространение своего политического и экономического влияния. Так, декреты о восстановлении прежней свободы и независимости Греции издают македонский правитель Полисперхонт, македонские {6} цари Антигон и Деметрий Полиоркет, а затем и египетские цари Птолемей I Сотер и Птолемей II Филадельф. В ответ на это граждане греческих городов воздают «освободителям Эллады» божеские почести, сочиняют в честь их гимны и... разрешают им ставить в свои города их гарнизоны и управителей. Как замечает крупнейший историк эллинизма Вилькен, свобода и независимость Эллады стали мелкой разменной монетой в борьбе честолюбивых монархов между собой. Но происходило это не только потому, что монархи не вкладывали реального смысла в свои декреты, но и потому, что старая рабовладельческая демократия себя изжила: греки, вынужденные примириться с экономической необходимостью происшедшего перелома, потеряли всякую потребность в свободе и политической независимости и не умели уже ими пользоваться; в этом философ, которого мы цитировали выше, был совершенно прав.

Это положение вещей было еще только первым шагом на пути деградации греческого полиса. В это время еще никому не приходило в голову, что скоро наступит время, когда во главе Греции станет еще более циничная римская власть, когда «жалкие греки» (graeculi) будут рассматриваться лишь как люди второго сорта, как естественный объект для эксплуатации римских ростовщиков, когда население целых греческих государств, вполне лояльных и покорных Риму, не ведущих с ним никакой войны, будет продаваться в рабство за неуплату кабальных долгов римским ростовщикам или непосильных налогов римским откупщикам. Никому еще не приходило в голову, чтобы свобода и автономия греческих городов могли получить такой вид, что организовать раздачу хлеба населению или организовать пожарную дружину в греческом городе можно будет только со специального разрешения римского императора. В рассматриваемую нами эпоху греческие государства еще лишались только права вести самостоятельную внешнюю политику; во внутренних муниципальных делах они еще были совершенно независимы, если только не производили массового освобождения рабов, передела земли, отмены долгов и других мер, угрожающих общественному порядку, т. е. в первую голову устойчивости сделок крупных купцов и ростовщиков. {7}

Если, таким образом, от свободы и автономии греческих городов классического времени осталась только тень, то, с другой стороны, эллинистическое общество сделало большой шаг вперед в сторону космополитизма. В классическую эпоху гражданин греческого государства относился с нескрываемым презрением к иностранцам, проникшим тем или иным путем в среду граждан, а тем более, поселившимся в государстве в качестве иностранных поселенцев-метэков, даже если эти «иностранцы» были такими же греками из другого города-государства, лежащего на расстоянии десятка километров. Отношение к «варварам», т. е. не-грекам, было еще более презрительным: греков считали созданными для свободной жизни, «варваров» — предназначенными судьбой для рабства. Такие учения проповедывались, например, Аристотелем, который дал своему воспитаннику Александру Македонскому совет, находясь в Азии, обращаться с греками, как с младшими товарищами (γεμονικς), а с варварами, как деспот с рабами (δεσποτικς). Теперь, придворный астроном египетских Птолемеев, близкий друг Архимеда, Эратосфен в одном из своих сочинений порицает Аристотеля за эти слова и хвалит Александра за то, что он не последовал совету своего учителя: людей надо делить не на греков и варваров, а на добродетельных и подлых, а добродетельных людей немало и среди варваров. Так, например, по его мнению, индусы и бактрийцы отличаются высокими нравственными качествами, а римляне и карфагеняне имеют замечательное государственное устройство. Несомненно придворный ученый излагал в этих словах официальную точку зрения Птолемеев.

В государстве Птолемеев мы, правда, находим официальное деление на «македонян», «греков», «египтян», но это только пережиточные термины, в основном характеризующие деление на сословия: среди «греков» и «персов» мы находим немало египтян и евреев. Зажиточный человек, одевающийся по-гречески и усвоивший греческий культурный облик, тем самым становился греком. В этом отношении очень интересен дошедший до нас александрийский па-

Таблица 2

пирус, в котором написано: «Египтяне... должны быть выселены из Александрии... Не следует делать препятствий тем египтянам, которые приезжают для {8} получения образования, по торговым делам и для осмотра достопримечательностей города». Высылке подлежат лишь египтяне, говорящие по-египетски, одетые в египетскую одежду и соблюдающие египетские национальные обычаи, «чуждые культурным людям». Этот космополитизм соответствовал интересам эллинистических владык: им приходилось управлять огромными монархиями, населенными людьми самых различных национальностей; в число своих приближенных и управителей они хотели выдвигать людей, наиболее надежных и преданных им и в то же время наиболее ловких и способных. Всякая «варварофобия», всякая национальная исключительность и национальная вражда только мешали бы их политике и связывали бы их по рукам, ибо такая политика нарушала бы нормальную деловую жизнь больших эллинистических государств.

Сиракузы, в которых родился Архимед, были одним ия наиболее космополитических городов Греции. Вся восточная половина острова Сицилии была населена греками. Здесь поселения греков-дорян перемежались с поселениями греков-ионян. В классическую эпоху антагонизм между дорянами и ионянами был весьма резким. Теперь появился общегреческий язык, койнэ, литературный язык всей Греции, образовавшийся из аттического. Правда, широкие массы населения продолжали говорить на своих диалектах, а дорийский диалект с его причудливыми для греческого интеллигента звучаниями вошел в моду в силу своей экзотичности и простонародности, «буколичности»; в частности, и Архимед писал на дорийском диалекте. Но в дорийский диалект проникло много ионийских слов, резкая разница между диалектами стерлась, и от былого антагонизма между дорянами и ионянами не осталось почти ни следа. Западная часть Сицилии в годы юности Архимеда принадлежала карфагенянам. Карфагенян можно было массами встретить на улицах Сиракуз; они оказали большое влияние на культуру Сицилии. Карфагенское государственное устройство считал достойным подражания образцом уже Аристотель, а вслед за Аристотелем друг Архимеда Эратосфен. Организация торговли в карфагенском государстве и карфагенская военная техника тщательно изучались и усваивались в Сицилии. Но особен-{9}ное восхищение вызывала карфагенская система организации крупного плантационного сельского хозяйства, так как и в Сицилии такое хозяйство было широко распространено. В Карфагене существовала очень популярная в Греции теоретическая литература по этому вопросу (например, сочинения Магона), явившаяся источником для аналогичных трудов сиракузского тирана Гиерона. Как велико было влияние Карфагена в это время, видно из того, что еще некоторое время спустя после смерти Архимеда в далеком Риме поэт Плавт пишет целые сцены своей комедии «Финикиянин» (Poenulus) на языке карфагенян: очевидно, среди римской публики было немало людей, понимавших по-карфагенски. С другой стороны, карфагенское государство само по себе имело ярко космополитические черты: в войсках карфагенян служили греки, галлы, италики, ливийцы и нумидийцы.

Не менее многочисленны и влиятельны были в Сицилии и италийские племена. Один из важнейших городов восточной Сицилии — Мессана — был в детские годы Архимеда в руках италийского племени мамертинцев; бруттии, луканы, кампанцы и самниты были частыми гостями в Сиракузах. Еще более значительным было в Сицилии уже в это время влияние могущественного Рима. На почве торгового общения целый ряд латинских слов вошел в греческий язык Сицилии — libra (фунт), uncia (унция), salinum (солонка) и т. д. Наконец, в самой Сицилии жили туземные племена, сикулы и сиканы, в это время уже в значительной мере ассимилировавшиеся с греческим населением.

Но при всем этом космополитизме греки Сицилии чувствовали себя прежде всего греками и наиболее близки им были греки Балканского полуострова. Греческая история и литература VI—IV вв. была их историей и литературой, греки классической эпохи — их предками. На литературе этой славной эпохи, прежде всего на Гомере, греки Сицилии воспитывались с раннего детства. Это было одной из причин того, что теснимые с двух сторон римлянами и карфагенянами, сиракузяне в раннем детстве Архимеда призвали к себе на помощь Пирра из Греции, несмотря на его автократические замашки. И карфагенян, и римлян, и сикулов они готовы были считать равными {10} себе лишь постольку, поскольку те усвоили греческую культуру и греческий облик: в противном случае это были «варвары».

В такой обстановке около 287 г. до н. э. в семье математика и астронома Фидия родился сын Архимед. Фидий был, очевидно, небогатым человеком, ибо и его родственник, впоследствии тиран Сиракуз Гиерон, был в это время, как сообщают источники, небогатым, простым гражданином. Этому соответствует и образование, полученное Архимедом. Мы ничего не слышим о том, чтобы Архимед занимался философией или изящной литературой. Между тем богатые и знатные люди того времени давали своим детям всестороннее образование, в центре которого были занятия философией и литературой, а математике учили их лишь постольку, поскольку это было нужно для философии. Уже Аристотель сказал по этому поводу: «Нет ничего недостойного для свободного человека в том, чтобы заниматься некоторыми свободными науками до известного предела, но слишком усидчивое изучение их до полного совершенства... делает тело и разум людей негодным для потребностей и дел добродетели». И действительно, друг Архимеда Эратосфен, кроме математики, занимался и философией, и изучением литературы, и сам писал стихи. Наоборот, античные ремесленники уже с детства посвящали детей в тайны своей науки и учили их только этому делу, но зато до полного совершенства. Именно так воспитан был Архимед: его учили, по-видимому, только математическим наукам. Впрочем, причиной того, что он интересовался только ими и овладел ими в совершенстве, был не только характер воспитания, но и его гениальность и душевный склад.

Родственник Архимеда Гиерон сражался в войсках Пирра, прибывшего в 280 г. из материковой Греции на помощь своим италийским и сицилийским соплеменникам, теснимым, с одной стороны, Римом, с другой, Карфагеном. В этой войне Гиерон настолько отличился, что после ухода Пирра назад в Грецию ему удалось захватить неограниченную власть в Сиракузах. Разумеется, это не могло не отразиться на материальном положении его ближайших родственников. Может быть, именно эта перемена в судьбе и дала Архимеду возможность отправиться на продолжи-{11}тельное время для завершения своего образования в один из центров тогдашней образованности.

Важнейшими такими центрами были тогда Афины и Александрия; меньшее значение имел Пергам в Малой Азии. В области философии и изящной литературы Афины, этот «университет Эллады», в то время не только не уступали новому центру — Александрии, но и превосходили его. Но в области астрономии, математики, филологии и медицины Афины должны были безоговорочно уступить первое место Александрии. Неудивительно, что в то время как Эратосфен ездил на долгое время учиться в Афины, Архимеда и в силу полученного им образования и в силу природных склонностей не могло влечь в Афины, и он направился сразу же в Александрию.

Но в Александрию он приехал, получив уже хорошую математическую подготовку в доме отца. Что же это была за подготовка? По каким учебникам готовился Архимед? На этот вопрос мы, кажется, в состоянии ответить с полной определенностью. Незадолго до рождения Архимеда вышел курс геометрии, сразу же затмивший и вытеснивший все курсы геометрии, появившиеся до этого времени. Этот курс был тогда последней научной новинкой, и впоследствии Архимед неоднократно ссылается на него в своих работах. Это — «Начала» Евклида. Вот почему, для того чтобы понять и внутренний строй и оформление трудов Архимеда, нам необходимо несколько подробнее остановиться на Евклиде и его трудах. {12}

ГЛАВА ВТОРАЯ

²

«Начала» и «Конические сечения» Евклида

Еще задолго до возникновения греческих государств наука древнего Востока овладела целым рядом отраслей математики. Египтяне и вавилоняне умели решать задачи на уравнения первой и второй степеней, на равенство и подобие треугольников, на арифметическую и геометрическую прогрессии, на определение площадей треугольников и четырехугольников, объема параллелепипедов и т. д. Они знали точные формулы для определения суммы квадратов последовательных чисел, начиная от 1, объема цилиндра, конуса, пирамиды и даже усеченной пирамиды, хотя нам до сих пор не ясно, как они к этим формулам пришли. Были у них в ходу и приближенные формулы, например для определения площади круга, а у вавилонян — всякого рода таблицы (таблицы умножения, обратных величин, квадратов, кубов, таблицы решений для кубичного уравнения типа x³+x²=n и т. д.). Но характерным для этой древневосточной математики было то, что здесь прежде всего интересовались нахождением или отгадыванием любым способом правильного решения, запоминанием и практическим применением его. До нас {13} не дошло ни в одном древневосточном памятнике доказательства того или иного математического положения; мы имеем только готовые рецепты для решения задач: «возьми то-то», «сделай то-то». Эти рецепты передавались из поколения в поколение; новые поколения ученых находили рецепты для решения новых задач, но как они пришли к ним, оставалось их профессиональной тайной.

Греки первой половины V в. вряд ли сколько-нибудь значительно расширили круг вопросов, которыми занималась математика Востока. Но направление их интересов было совершенно другое: их волновал прежде всего вопрос, откуда взяты эти по виду такие простые и в то же время такие неожиданные решения, как доказать, что эти решения верны, как установить, во всех ли случаях они верны, и если не во всех, то в каких именно. Основными элементами, которые несомненно характеризовали уже древнейшие математические работы греков, были: постулаты — положения, которые, как непосредственно очевидные, предлагается принять на веру (ατήματα), доказательства (άποδείξεις), решения задач (λσεις) и определение условий, при которых данное решение имеет смысл и остается верным (διορισμοί). В соответствии с образным типом мышления греков ведущей математической дисциплиной у них стала геометрия. Исключая наиболее простые, «непосредственно очевидные», арифметические задачи, все вопросы математики старались осмыслить геометрически: вместо произведения говорили «площадь», вместо произведения числа на самое себя — «квадрат» (выражение, сохранившееся до нашего времени). Графическая, геометрическая интерпретация выражений, вроде

(a+b)²=a²+2ab+b²,

нас не может удивить, ибо такая интерпретация обычна в нашей школе. Интереснее античная процедура решения квадратного уравнения

x²+ax=m².

Задача формулировалась так: к данному отрезку АВ (равному a) приложить такой прямоугольник, чтобы, имея {14} избытком квадрат (одной высоты с ним), он был равновелик данному квадрату (со стороной m).

Решается эта задача так (фиг. 1): Отрезок АВ (=а) делят пополам в точке С. В точке С восстанавливают пер­пендикуляр CD, равный АС, и достраивают квадрат AEDC. Кроме того, строят прямоугольный треугольник, один катет которого ΜΝ = т, другой ΝΡ = a/2. От точкиD

Фиг. 1.

в сторону точки С откладывают отрезок DF, равный гипотенузе МР, из F проводят прямую FG, параллельную АВ, до пересечения с продолжением диагонали AD в точке G; АВВ₁А₁ есть искомый прямоугольник. В самом деле, достроим квадрат КА и прямоугольник LA.

DF — сторона квадрата DFGL, по построению равна

значит, площадь этого квадрата равна m²+(a/2)². CD — сторона квадрата AEDC, по построению равна AB/2=a/2; площадь квадрата AEDC равна (a/2)². Площадь фигуры LGFCAE, так называемого гномона, очевидно, равна квадрату DFGL минус квадрат AEDC = т²+(a/2)²—(a/2)²=m². Но прямоугольник KALE равен прямоугольнику CBB₁F; поэтому гномон равен фигуре KBB₁G. {15}

Итак, на отрезке АВ = а построен такой прямоугольник АВВ₁А₁, что при прибавлении к нему квадрата KGA₁A одной высоты с ним он равняется по площади m², что и требовалось сделать.

С другой стороны, греческие геометры требовали, чтобы все предлагаемые построения были осуществимы, а поскольку унаследованными с востока геометрическими инструментами были линейка (κάνων) и циркуль (διαβήτης), требовалось, чтобы их можно было осуществить при помощи циркуля и линейки.

Что касается, в частности, геометрических задач, то одним из величайших открытий греков V в. было последовательное применение метода геометрических мест (τόποι). Например, если искомая точка должна лежать на заданном расстоянии d от данной точки A, то ее τόπος’ом будет окружность радиуса d с центром в А; если требуется, чтобы точка лежала на расстоянии k от прямой MN, то ее τόπος’ом будет прямая, параллельная ΜΝ и отстоящая от нее на k. Если же требуется, чтобы искомая точка удовлетворяла обоим указанным условиям, то она должна лежать на пересечении обоих τόποι.

В V в. авторы математических работ еще не видели в читателе строгого критика, который подкарауливает их, следит за каждым их шагом и готов придраться к каждой их ошибке. Они писали для узкого круга своих учеников и друзей, привыкших к их ходу мысли. Их основной целью было показать, кáк они пришли и как вообще можно придти к тем или иным выводам, развить в своих читателях математическую интуицию и умение проверять найденные решения. Для них было достаточно того, что их ученики понимают, чтó они хотят сказать. Так, например, живший еще в VI в. Фалес, по преданию, доказывал теорему, что диаметр делит круг на две равные части, таким образом: диаметр есть прямая, т. е. такая линия, которая во всех частях имеет одно и то же направление (χώρησις) к центру. Если бы диаметр в какой-нибудь точке залез в верхнюю половину круга, то в этой точке он имел бы сначала направление вверх, а затем вниз и, следовательно, не был бы одной прямой линией. По тем же причинам он не может залезть, и в нижнюю половину круга; значит, он делит круг на две равные части. Такое рассуждение, конечно, никак {16} не является отчетливым и строгим, но, что хочет сказать автор, понятно.

a b

c

Таблица 3. Геометрическое суммирование утроенного

ряда 1²+2²+3²+4²+5²

С бóльшими трудностями пришлось встретиться греческим геометрам при доказательстве формул для площади круга и эллипса и для объема пирамиды, конуса и шара. Здесь пришлось отправляться от таких постулатов, которые, как замечал Архимед, «далеко не всем могли казаться очевидными»: именно, что всякая линия состоит из «точек», точнее, прямолинейных отрезков чрезвычайно малой длины; что, накладывая прямые линии чрезвычайно большое число раз друг на друга, получим плоскость, а накладывая плоскости чрезвычайно большое число раз друг на друга, получим тело. При таких постулатах круг оказывался многоугольником с чрезвычайно большим числом сторон, конус — пирамидой с таким «бесконечноугольником» в основании, шар — многогранником с чрезвычайно большим числом граней и т. д. Этот же постулат давал право утверждать, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, равновелики: если каждая пирамида «состоит» из чрезвычайно большого числа все уменьшающихся плоских многоугольников, наложенных друг на друга, то каждый многоугольник в одной из пирамид равновелик соответствующему многоугольнику в другой пирамиде, находящемуся на такой же высоте; а если так, то равновелики и «суммы» всех многоугольников, заключенных в одной и другой пирамидах, а следовательно, равны друг другу и объемы пирамид. Параллелепипед не трудно разбить на три пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты. Следовательно, объем пирамиды равен трети объема призмы с равновеликими основанием и высотой, а значит, этот объем равен трети произведения площади основания на высоту. Точно так же при этих предпосылках не трудно доказать, что площадь круга, т. е. «бесконечноугольника», равна половине произведения его периметра на радиус, а объем шара, т. е. «бесконечногранника», — трети произведения его поверхности на радиус; круг рассматривался как совокупность чрезвычайно узких треугольников, а шар как совокупность чрезвычайно узких пирамид, с вершинами в центре круга или шара и с высотами, равными радиусу.

Фиг. 2

Эллипсом занимались уже древние египтяне, и можно {17} не сомневаться, что он был уже известен грекам в V в. но не как коническое сечение, а как «сплющенный круг». Это видно из четвертого предложения архимедова сочинения «О коноидах и сфероидах», где основным свойством эллипса еще считается то, что он соединяет точки деления всех ординат круга, разделенных в определенном отношении. При таком определении не трудно найти площадь эллипса. Круг и эллипс «состоят» из ординат, тесно приложенных друг к другу; каждая ордината круга относится к соответственной ординате эллипса, как m : n; поскольку в пропорции сумма предыдущих относится к сумме последующих, как каждое предыдущее к каждому последующему, «сумма» ординат эллипса, т. е. его площадь, относится к «сумме» ординат круга, т. е. к его площади, как п:т, или как его малая ось к большой. Вот почему, когда Архимед в предисловии к «Квадратуре параболы» (см. стр. 109) говорит, что площадь эллипса (эллиптического сегмента) прежде находили, «исходя из вряд ли допустимых предпосылок», то можно быть уверенным, что он имеет в виду именно это решение, при котором эллипс рассматривается как совокупность «всех его ординат».