Дроби обыкновенные и десятичные

Справочные материалы для учащихся 9 класса.

Алгебра

Натуральные числа и действия над ними

Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не определяется через другие, более простые понятия. Натуральные числа возникли в результате счета предметов. Их можно записывать как ряд чисел: 1, 2, 3,…Обозначается множество натуральных чисел N.

Для натуральных чисел определены действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, причем сложение и умножение выполняются всегда.

Результат сложения двух или нескольких чисел называется их суммой, а сами числа – слагаемыми: a + b + c + … + k = p, где p – сумма; a, b, c,…k – слагаемые.

Законы:

1) a + b = b + a – переместительный, коммутативный;

a · b = b · a

2) (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательный, ассоциативный;

(a · b) · c= a · (b · c)

3) (a + b) · c = a · c + b · c – распределительный, дистрибутивный.

c · (a + b) = c · a + c · b

Вычесть из числа а число b – значит найти такое число x, которое в сумме с числом b дает число a, т.е. a – b = x, если b + x = a, где x – разность a и b и обозначается a - b, a – уменьшаемое, b - вычитаемое.

Разделить число a на число b – значит найти x, при умножении которого на число b получается a, т.е. a : b = x, если x · b = a, где a – делимое, b – делитель числа а, x – частное.

Число, которое делится на 2, называется четным.

Число, которое не делится на 2, называется нечетным.

Признаки делимости чисел.

1. На 2 делятся все те, и только те числа, у которых в разряде единиц четное число.

2. На 5 делятся все те, и только те числа, у которых цифра единиц 0 или 5.

3. На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулем.

4. На 3 (9) делятся те, и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (9).

5. На 4 (25) делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры – нули, или выражают число, делящееся на 4 (25).

6. На 6 делятся те, и только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.

7. Если каждое слагаемое делится без остатка на данное число, то и сумма разделится без остатка на данное число.

8. Если делятся на данное число все слагаемые, кроме одного слагаемого, которое не делится на данное число, то и сумма не разделится на данное число.

9. Если хотя бы один из сомножителей делится на данное число, то и все произведение разделится на данное число.

Простые и составные натуральные числа

Если одно из натуральных чисел делится на другое без остатка, то первое число называется кратным второго, а второе – делителем первого.

Например: 14 : 7=2, 14 – кратное числа 7, а 7 – делитель числа 14;

14 – кратное числа 2, а 2 – делитель числа 14.

Число a называется простым, если его делителями является только 1 и само число a. Например: 2, 3, 5, 13, 29,…

Число a, имеющее более двух натуральных делителей (кроме 1 и a) называется составным. Например: 4, 6, 15,…

Число 1– ни простое, ни составное.

Основная теорема арифметики. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел или их степеней

Например: 110= 2 · 5 · 11;

12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3;

525 = 3 · 5 · 5 · 7 = 3 · 5² · 7.

Наибольший общий делитель (НОД)

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называется общим делителем этих чисел.

Самый больший из общих делителей данных чисел называется их наибольшим общим делителем.

Например: найти НОД чисел 126; 540; 630.

Разложим эти числа на простые множители:

126=2·3·3·7; 540=2·2·3·3·3·5; 630=2·3·3·5·7.

Найдем наибольший общий делитель 2·3·3=18.

НОД(126, 540, 630)=18.

Таким образом, чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить их на простые множители, выписать их общие простые множители и перемножить.

Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.

Например: 16 и 25; НОД(16;25)=1, т.к. 16 = 2·2·2·2, 25 = 5·5.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Число, которое делится на каждое из данных чисел, называется общим кратным этих чисел.

Самое меньшее из общих кратных данных чисел называется их наименьшим общим делителем.

Например: найти НОК чисел 63; 280; 150.

Разложим эти числа на простые множители:

63=3·3·7; 280=2·2·2·5·7; 150=2·3·5·5.

Найдем наименьшее общее кратное 2·2·2·3·3·5·5·7=12600.

НОК(63;280;150)=12600.

Таким образом, чтобы найти НОК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, из большего числа выписывают все множители и к ним приписывают недостающие множители из разложений остальных чисел.

Если числа взаимно простые, то их произведение и есть НОК.

Дроби обыкновенные и десятичные

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью.

Записывается с помощью черты и двух натуральных чисел. Число, стоящее под чертой и показывающее, на сколько равных частей разделена единица, называется знаменателем дроби. Число, стоящее над чертой и показывающее, сколько взято таких равных частей, называется числителем дроби.

Дробную черту можно рассматривать как знак деления:

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице:

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной: .

Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной: .

Дроби и называются равными, если .

Основное свойство дроби. Если оба члена дроби увеличить в одно и то же число раз или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится.

Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10,100,1000 и т.д. называют десятичной дробью: .

Периодические дроби

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической: 0,3333…=0,(3); 2,6555…=2,6(5).

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде либо конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической дроби.

Правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.

Надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, а после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например: .

Правило перевода обыкновенной дроби в бесконечную периодическую дробь.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например: .