Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры
Корректность - непрерывная зависимость решения от дополнительных условий в любой конечной точке области, т.е. если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются).
Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.
Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: .
Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут существенно различны.
10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
Теория специальных функция – это теория следующих уравнений: (*) - линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть функция , т.е. - нуль первого порядка. Решение (*) всегда: . Рассмотрим решение в окрестности особой точки, в которой обращается в ноль.
Теорема. Если уравнение имеет ограниченное в точке решение , то все остальные решения (линейно независимые) не ограничены: . То есть существует одно ограниченное решение.
Доказательство: Из теории ОДУ знаем, что , - Вронскиан двух решений. Докажем: , тогда , чтд.
У нас ограничено, а - нет. Рассмотрим следующую величину: . Проинтегрируем эту величину: , , следовательно, этот интеграл расходится при , а это значит, что , чтд.
Уточним теорему: рассмотрим два случая.
1. в окрестности точки , ~ , т.е. как логарифм.
2. ~ ~ - полюс порядка .
Проанализируем получившееся решение:
Если требуется ограниченное решение в особой точке, то , т.к. . Так как полное решение (*) всегда является суммой двух решений: ограниченного и неограниченного, то ограниченность этого первого решения уже есть само по себе граничное условие. |
Уравнение Бесселя.
Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.
Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: .
Рассмотрим некоторые её свойства.
1) Рекуррентные соотношения.
2) Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим .
Для этого выполним преобразования:
, подставим , но , тогда .
Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов.
3) Нули функции Бесселя.
1. Они есть и их бесконечно много, следует из асимптотики: . 2. Все нули, кроме , простые, изолированные. 3. Все нули действительные, положительные. 4. и не имеют общих нулей (см. рисунок). 5. При возрастании корень смещается, , - корни функции Бесселя. |
a) особенность, построение ограниченного решения .
Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.
Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
При : При : При : При : |
Пусть . Таким образом : . Вычислим коэффициент , и выразим его через .
, коэффициент выбираем произвольно: , где .
Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к. .
Запишем формальный ряд: , если , тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любых по признаку Даламбера: , сходится при всех , радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение: - функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение.
Случай рассмотрен в следующем пункте.
b) общее решение, , , , понятие о функциях .
Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.
Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
При : При : При : При : |
Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет: , где - любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения .
Пусть - целое число, тогда при . сменим индекс: , получили соотношение: , то есть решения стали линейно зависимыми..
В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана.
Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения.
Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения):
- функции Ханкеля, их асимптотика .
Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений):