Формирование математических понятий. Приемы: анализ и синтез, аналогия и сравнение, классификации и обобщения

В первую очередь, необходимо определить типы учебных задач по усвоению материала, затем знания и умения, необходимые для их осуществления, и, наконец, соответствующие приемы учебной деятельности учащихся.

В. И. Крупич выделяет следующие основные учебные задачи по формированию математических понятий:

1. Наблюдение (измерение, построение, моделирование) объектов с целью выделения их свойств.

2. Анализ свойств объекта, в ходе которого нужно определить, какие из них являются общими, отличительными, существенными (важными) или не существенными (второстепенными).

3. Сравнение объектов и их свойств.

4. Установление и использование аналогии.

5. Абстрагирование от различных или несущественных свойств объектов.

6. Синтез объектов и их свойств. Обобщение, формулировка суждения об общих существенных признаках объектов, введение термина или символа для обозначения понятия.

7. Использование индуктивного заключения.

8. Определение понятия - формулировка предложения, в котором перечисляются необходимые и достаточные признаки понятия.

9. Конкретизация понятия - подтверждение существования класса объектов соответствующих понятию (доказательство теоремы существования, приведение примеров, решение задач на построение).

10. Приведение контрольных примеров - примеров непринадлежности понятию.

11. Выведение следствий из определения понятия. Подведение под понятие - соотнесение любого объекта с понятием, предполагающее наличие у этого объекта признаков данного понятия.

12. Формулировка другого определения известного понятия (нахождение новых характерных признаков) и доказательство равносильности различных определений одного и того же понятия.

13. Классификация - разбиение множества изучаемых понятий на классы и виды.

14. Систематизация понятий - установлением связей между ними.

15. Специализация - переход к рассмотрению понятий более узкого класса (вида).

16. Установление отношений между понятиями.

17. Использование определения понятия при доказательстве теоремы и решении задачи.

18. Использование определения понятия при доказательстве теоремы и решении задачи.

19. Запоминание определения понятия.

20. Контроль над усвоением определения понятия.

При формировании различных понятий значительность тех или иных задач меняется в зависимости от возрастных особенностей учащихся, содержания курса и этапов работы над понятиями. Например, мы считаем, что в начальном курсе математики можно опустить (не использовать) следующие учебные задачи:

- выведение следствий из определения понятия;

- доказательство равносильности различных определений одного и того же понятия;

- использование определения понятия при доказательстве теорем.

Так же Крупич В. И. выделяет определенные знания и умения, необходимые при решении определенных задач [ ]:

- Знать, что такое свойства предмета - общие, различные, существенные. Несущественные, необходимые, достаточные; уметь выделять свойства в изучаемых объектах и дифференцировать их.

- Осознавать и знать суть мыслительных операций, таких как анализ, синтез, сравнение, обобщение и т.д. Уметь их выполнять.

- Знать структуру логических форм мышления - определения понятий, формулировки суждений, выведения следствий, доказательство теорем. Уметь их выполнять.

- Знать приемы запоминания и контроля усвоения изученного и уметь ими пользоваться.

Мы в целом согласны с ним, однако, для учителя начальных классов необязательно знать структуру доказательства теорем, поэтому в своей работе мы не используем соответствующие упражнения.

В соответствии с предложенными типами учебных задач и знаниями и умениями Крупич В. И. выделяет следующие общие приемы учебной деятельности по усвоению математических понятий (приведем перечень действий): наблюдение, анализ, сравнение, заключение по аналогии, абстрагирование, синтез, обобщение, индуктивное заключение, конкретизация, приведение контрпримеров, выведение следствий из определения, подведение под понятие, классификация, систематизация, специализация, усвоение и запоминание определения понятия, контроль над усвоением определения понятия, использование определений понятий.

Трудности усвоения понятий учащимися психологи объясняют неумением выделять существенные признаки предметов, абстрагироваться от несущественных. Возникают ложные стереотипы, которые объясняются характером чувственного восприятия школьников. Например, учащиеся не узнают квадрат, если его стороны расположены под углом к горизонтали. Существенными для них становятся яркие признаки, которые выступают на передний план в конкретных фигурах, если к тому же они изображаются стандартно, в одном положении.

Чтобы предупредить ошибки, необходимо учитывать, что в любой процесс обобщения входит абстрагирование, вызывающее наибольшую трудность при формировании понятий.

Исследования показывают, что наиболее эффективным оказывается путь абстрагирования, разработанный Е. Н. Кабановой-Меллер - так называемая противопоставляющая (расчленяющая) абстракция. Суть этого метода в том, что в процессе формирования понятия учащиеся усваивают знания как о существенных, так и о несущественных признаках (варьирующихся) признаках предметов и должны научиться их различать и предвидеть, в каком направлении могут варьироваться существенные признаки. В состав этого действия входят операции.

1. Вспомнить существенные признаки вводимого понятия, указанные в определении, и несущественные признаки; указать, как могут варьироваться несущественные признаки;

2. Найти в заданном материале существенные и несущественные признаки объектов и противопоставить их; выделить объекты, соответствующие вводимому понятию по существенным признакам, и отметить в них несущественные признаки.

Эти операции предполагают, что одновременно одни признаки понятия замечаются, осознаются как существенные, другие как несущественные.

Например, при формировании понятия «треугольник» учащиеся осознают два существенных признака:

а) фигура является четырехугольником;

б) у фигуры все углы прямые.

Несущественные признаки: всевозможные длины сторон, любое положение на плоскости.

При введении понятия «прямоугольный треугольник» в наглядном материале должны предусматриваться всевозможные виды прямоугольных треугольников. С различным положением прямого угла на плоскости, с разными величинами сторон и непрямых углов, рассматриваются непрямоугольные треугольники.

Таким образом, применение расчленяющей абстракции дает возможность предупредить неправильные обобщения при усвоении понятий.

Успешным мы называем такое усвоение, при котором учащиеся овладевают полностью содержанием, объемом понятий, знанием его связей и отношений с другими понятиями, а так же умением оперировать понятием в решении учебных и практических задач.

Рассмотрим эти условия:

1) Первостепенным условием является знание учителем содержания понятия в современной науке;

2) Вторым условием является знание учителем требований, предъявляемых к усвоению понятия, видение верхнего уровня, до которого оно должно быть сформулировано у учащихся к моменту окончания средней школы. Выполнение этого уровня необходимо для того, чтобы учитель видел перспективу в развитии понятия.

3) Третьим важным условием усвоения понятий является знание учителем основных этапов в формирующем понятии.

4) Правильный выбор способа формирования понятий, методов и приемов, которые обеспечивают быстрейшее выделение существенных признаков понятия, его существенных связей и отношений с другими понятиями.

5) Важным условием успешного формирования понятий является организация познавательной деятельности учащихся на всех этапах формирования понятия.

На первом этапе формирования понятия активизацией мыслительной деятельности учащихся и их внимания является осознание проблемной ситуации, анализ которой приводит учащихся к выводу, что имеющейся у них понятийной базы недостаточно для объяснения. Создание проблемной ситуации при формировании понятий актуализирует внимание, активизирует мышление, способствует лучшему пониманию значения усвоения понятия для практической деятельности. Все это, вместе взятое, обеспечивает лучшее усвоение понятий учащихся.

6) Правильное сочетание наглядно - образного, словесно - теоретического и действенно - практического компонентов мышления учащихся. Это достигается правильным использованием наглядной опоры при формировании понятий.

7) Организация системы самостоятельных работ по овладению понятий.

По своей роли в формировании понятий все самостоятельные работы можно разделить на определенные виды.

8) По возможности более раннее установление связей формирующего понятия с другими понятиями данной системы и других систем.

9) Знание учителем имеющейся у учащихся понятийной базы и их жизненного опыта, на которые возможно опереться при формировании понятия. Необходимо учитывать также тот запас знаний, которые уже приобрели учащиеся о данном понятии ранее.

10) Необходимо учитывать также знания, приобретенные из прослушивания передач по радио, телевидению, просмотра кинофильмов, чтения научно - популярной литературы.

Таким образом, при формировании математических понятий у младших школьников мы будем учитывать психологические закономерности и условия их формирования.