Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали

Определение производной. Ее физический смысл. Определение дифференцируемой функции. Сформулировать теорему о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Производная— основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.
Процесс вычисления производной называется дифференцированием

Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S= f(t), где t– время движения, то производная функции S– мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у= f(x) – скорость изменения функции в точке х.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х₀.

Следствие. Если х₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х| , х₀=0.

Dх>0, ;

Dх<0, .

В точке х₀=0функция непрерывна, но производной не существует.

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ , f ( x₀) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x₀) имеет вид:

y = f ’( x₀) · x + b .

Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀) = f ’( x₀) · x₀ + b ,

отсюда, b = f ( x₀) – f ’( x₀) · x₀, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f ( x₀) + f ’( x₀) · ( x – x₀) .

Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x₀; y₀) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением

что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

В случае бесконечной производной касательная в точке x₀ становится вертикальной и задается уравнением x = x₀, а нормаль – горизонтальной: y = y₀.