Вращательное движение тела

Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором две точки тела остаются неподвижными (точки А и В, рис.15). Прямая, проходящая через неподвижные точки, называется осью вращения (ось Az). Точки, не лежащие на оси вращения, описывают окружности по отношению к оси вращения. Плоскости этих окружностей перпендикулярны оси вращения, а их центры лежат на оси вращения.

Рис.15.

Рассмотрим движение плоского абсолютно твердого тела D относительно оси вращения Az (см. рис.15). Для определения положения вращающегося тела D введем неподвижную плоскость Р, проходящую через ось вращения. Положение тела в любой момент времени будет определяться углом j, который образуют подвижная плоскость с неподвижной. Этот угол измеряется в радианах (градусах), положительным считается направление отcчета его против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Az. Угол j называют углом поворота тела.

При вращении тела угол j изменяется с течением времени по определенному закону в зависимости от характера вращательного движения

. (38)

Уравнение (38) называется законом вращательного движения тела относительно неподвижной оси.

В случае, если известно число оборотов совершаемого тела N в некоторую единицу времени, угол поворота тела составит

. (39)

Для характеристики изменения вращения тела вокруг оси вводится понятие угловой скорости тела . Единицы измерения угловой скорости – рад/с или с^-1.

Пусть за промежуток времени тело совершает поворот на угол , тогда средней угловой скоростью тела будет отношение

. (40)

Угловой скоростью в данный момент времени, называется предел отношения уравнения (40), при стремлении времени , то есть

. (41)

Угловая скорость вращения тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота тела по времени.

Положительным направлением вращения угловой скорости в данный момент времени считается вращение против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Az (см. рис.15).

Если тело вращается неравномерно, то для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводится понятие углового ускорения . Единицы измерения углового ускорения – рад/с² или с^-2.

Пусть за время угловая скорость изменилась на , тогда значение среднего углового ускорения составит

. (42)

Угловое ускорение в данный момент времени называется пределом отношения уравнения (42), при стремлении времени , то есть

. (43)

Угловое ускорение в данный момент времени представляет собой первую производную от угловой скорости или вторую производную от угла поворота тела по времени.

Движение тела (точки) будет ускоренным, если численные значения угловой скорости ( ) и углового ускорения ( ) в данный момент времени имеют одинаковые знаки (рис.16,а), и замедленным, когда разные (рис.16,б).

б)

Рис.16.

а)

Угловую скорость, как и угловое ускорение тела можно изобразить в виде векторов и , численные значения которых равны и , соответственно. Вектор угловой скорости и углового ускорения требуется изображать вдоль оси вращения тела в сторону, откуда вращение происходит против хода часовой стрелки (рис.16). Задав вектора угловой скорости и углового ускорения, определяют численные значения их модулей, положение оси вращения и направление вращения вокруг этой оси.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной ( ), то вращение тела называется равномерным. Интегрируя уравнение (41) в заданных пределах, имеем

, (44)

,

где - угол поворота тела в момент времени t=0;

. (45)

Выражение (45) отображает закон равномерного вращательного движения твердого тела.

Если угловое ускорение тела во время движения остается постоянным ( ), то вращение называется равнопеременным. Интегрируя выражение (43) в заданных пределах, имеем

, (46)

,

где - угловая скорость тела в момент времени t = 0.

С учетом выражения (41) получим

. (47)

Интегрируя выражения в заданных пределах

, (48)

,

. (49)

Выражение (49) определяет закон движения при равнопеременном вращении.

Если модуль угловой скорости с течением времени увеличивается, то движение – равноускоренное, если уменьшается – равнозамедленное.

Уравнения для равноускоренного движения:

, .

В случае, равнозамедленного движения:

, .