Тұтастық теоремасы

Егер х,у арқылы симметриялық копмүшеліктер берілсе , онда оларды мен арқылы өрнектеу қиын емес екенін көріп отырмыз.Жоғарыда көрсетілген негізгі теореманың дәлелдеуі кез келген f(x,y)симметриялық көпмүшелерді мен элементарлық симметриялық көпмүшелер арқылы өрнектейтін амалдарды көрсетіп берді.Әрине , бұл жағдайда сұрақ туындайды: мен арқылы f(x,y) көпмүшелерді өрнектейтін басқа да амалдары табылмай ма? Бұл мүмкін емес : мен арқылы f(x,y) симметриялық көпмүшелерді өрнектеу үшін қандай да болмасын жолдарын алсаmқ, барлық уакытта да нәтижесі бір . Басқаша айтқанда , келесі теорема шығады.

Тұтастық теоремасы.Егер , және , көпмүшелері алмастырғанда f(x,y) симметриялық көпмүшесіне айналса , онда олар сәйкес келеді: , = , .

Тұтастық теоремасының тек дербес жеке жағдайын , атап айтқанда f(x,y)=0 жағдайын дәлелдеу жеткілікті. Басқаша айтқанда , келесі салдарды дәлелдесек жеткілікті: (А) Егер Ф( , ) көпмүшелерін орын ауыстырғанда нөлге айналса , онда ол нөлге теңбе – тең болады.

Тұтастық теоремасы (А) салдардан туындайтынын көрсетейік. , және , көпмүшелерін деп ауыстырғанда бірдей нәтиже береді: Сонда Ф( , )= , ) көпмүшені солайша ауыстырғанда нөлге айналады:

Сондықтан ,(А) салдары дұрыс болса , онда Ф( , )=0 және демек,( , )= , ) .

(А)салдарын дәлелдеу үшін бізге екі айнымалы көпмүшенің жоғарғы мүшесі мәні қажет. х кезіндегі көрсеткіштерді салыстыру арқылы анықталады.Басқаша айтқанда , мүшесінен болған жағдайда үлкен болады деп есептейді. Мысалы, -ден үлкен, ал -тен үлкен.Егер -нен үлкен , ал мүшесінен үлкен болса , онда үлкен екені белгілі.

Варинг формуласы

(1) формуланы (15 бет) қолданып , дәрежелі қосындыларды есептеп шығару әдісінің бір кемшілігі бар : үшін өрнекті табу үшін алдын ала барлық қосындыларды есептеу қажет. Ал кейбір уақытта оның бізге қажеті жоқ , мен арқылы үшін өрнекті бірден алңымыз келеді . Осыған лайық формуланы 1779 жылы ағылшын математигі Эдуард Варинг ашты.Бұл келесі формула

Бұл формулада қосылмалардың құрылу заңын оңай түсінуге болады.Өйткені дәрежелі қосындысы х және у өрісіндегі k дәрежесінің көпмүшесі болғандықтан , (2) формуланың ыдырауына тек к дәрежелі көпмүше ғана енеді.Алайда бірінші дәрежелі көпмүше , ал – екінші дәрежелі бірмүше. Егер дәрежесіне қойсақ , онда х және у қатысты 2m дәрежелі өрнегі шығады. үлесіне тек k-2m дәрежесі қалады. Сондықтан үшін өрнек түріндегі қосылмалардан жасалған , мұнда m нөлден асып кетпейтін үлкен бүтін санға айналады. коэффициенті алымында ( k-m-1)! тұрған бөлшек болып табылады, ал бөлігін m! және (k-2m) сандарының туындысы болып табылады. Одан басқа , коэффициенттері кезек-кезек белгілерін ауыстырады. кезінде коэффициент сол бір заң бойынша құрылғанын атап кетейік . Бұл қосылмаға нөлдік дәрежеде енеді , ал бірақ 0!=1 деп есептеледі. Сондықтан да (2) формуланың оң бөлігіндегі қосылмалар бір тәсілмен алуы мүмкін .

өпнегінде m санына тізбектеп 0,1,2,... мәнін k-2m көрсеткішіне дейін , беру керек.

Математикада барлық қосылмалары бір біріне ұқсас қосындылар жиі кездеседі.Дәлірек айтсақ , олар m санының жеке мәні кезінде, m санына тәуелді кейбір өрнегінен шығады.Мұндай қосындыларды түрінде жазу қабылдагған , қосымша m санының қандай мәнін қабылдағанын көрсету қажет.Мысалы, егер m саны 0- ден p дейінгі бүтін мәндерді білдірсе , онда бұл қосындыны түрінде жазады.

Басқаша айтқанда ,

Осы белгілерді қолдана отырып (2) формуланы қайта жаза аламыз:

мұнда p- асып кетпейтін ең үлкен бүтін сан .

Варинг формуласының көмегімен (16) беттегі кестеде берілген дәрежелі қосындысына арналған формуланы қайтадан оңай алуға болады.

Варинг формуласын дәлелдеу үшін математикалық индукция тәсілін келтіреміз. k=1 болғанда формула түрінде , ал k=2 болғанда түрінде болады. Осылайша , k=1 және k=2 кезінде Варинг формуласы тура шығады .

үшін Варинг формуласы дұрыс екендігі дәлелденді деп ұйғарайық.Оны үшін дәлелдеу үшін 15 беттегі (1) формуланы қолданамыз.

Екінші қосындыдағы n+1 m санына ауыстырамыз. Сонда екі қосындыны біріктіруге болады:

Алайда

және сондықтан да тік жақшаның ішіндегі өрнек мынаған тең:

болғандықтан , қажетті аракатынасты аламыз:

Варинг формуласы дәлелденді.