Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения

Рассмотрим вынужденные колебания системы, изображенной на рис. 11. Представим себе, что она изображает движение подвешенной на колесе массы m, когда колесо катится по жесткому пути, имеющему неровности косинусоидальной формы.

В этой системе силы инерции массы т, т. е. Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru , уравновешиваются силами, возникающими при деформации рессоры (z - zк), т. е. силой с (z - zк). Следовательно, Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru + с (z - zк) = 0.

Если zк = h cos w t (см. рис. 11), то

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru + с z = c h cos w t (1.43)

Поделив все члены этого уравнения на m, получим

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru + v2 z = v2 h cos w t (1.44)

где Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru — круговая частота свободных колебаний системы (см. § 2).

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru

Рис. 11

Общее решение этого уравнения с правой частью (неоднородного) можно представить как сумму решения однородного уравнения z1 и частного решения неоднородного уравнения z2, т. е. z = z1 + z2.

Найдем вначале частное решение уравнения. Представим, что

z2 = A2 cos w t (1.45)

и подставим его в уравнение (1.44). В результате получим

- A2w2 cos w t + v2A2cos w t = v2h cos w t

Откуда

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru , т.е. Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru .

Решение однородного уравнения можно, как известно, представить в виде

z1 = A1 cos v t

Тогда общее решение уравнения (1.44) представляется как

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru . (1.46)

Начало отсчета времени (t =0) в этой системе можно принять для такого момента, когда z =0. В таком случае, подставляя в (1.46) t =0, и z = 0, получим Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru . Следовательно Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru . Подставляя A1 в (1.46), получим

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru (1.47)

Величину Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru называют коэффициентом нарастания колебаний. Приняв это обозначение, уравнение (1.47) запишется

z = c h v2 (cos w t - cos v t). (1.48)

Это и будет общим решением нашего уравнения при принятых выше начальных условиях.

Исследуем поведение колебательной системы в том случае, когда частота возмущений ω приближается к частоте собственных колебаний v.

Для удобства дальнейшего анализа формулу (1.47) представим в следующем виде:

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru .

Обозначая v - w = 2e, подставим это выражение в предыдущую формулу и, полагая, что v ® w , получим

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru

или

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru . (1.49)

Поскольку e малая величина, то ее период Т1 весьма велик и значительно больше периода Т2, определяемого частотой возмущений за счет неровностей w.

Это позволяет рассматривать такие колебания (при близких w и v), как колебания с частотой w и с переменной амплитудой, равной Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru . Такие колебания называют биением (рис. 12) с периодом Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru . С приближением w к v период Т1 увеличивается. При точном совпадении величин v и w наступает явление резонанса.

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru

Рис. 12

Когда v станет равным w, можно принять sin et = et. В таком случае

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru (1.50)

График таких колебаний представлен на рис. 13. Он показывает, как развиваются колебания при резонансе. Совершенно очевидно, что при резонансе амплитуда колебаний возрастает прямо пропорционально времени t.

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru

Рис. 13

За каждый период колебаний Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru амплитуда возрастает на величину

Вынужденные колебания вагона на рессорах с линейными упругими элементами без трения - student2.ru (1.51)

Анализ системы с двумя степенями свободы (см. § 2) может быть проведен совершенно аналогично; в этом случае возможны два резонанса при приближении частоты w к частоте l1 или частоте l2, т. е. к той или иной собственной частоте.

Наши рекомендации