Глава 16. Полярное уравнение прямой

		Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса p и полярный угол нормали . Задача 0380 РЕШЕНИЕ. 1-Й СПОСОБ. На данной прямой s (рис.) возьмем произвольную точку М с полярными координатами и . Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника ОРМ находим: (1) Мы получили уравнение с двумя переменными и , которму удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой. Таким образом, задача решена. 2-Й СПОСОБ. Будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой s: (2) Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы: , (3) Подставив в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим или .
		Вывести полярное уравнение прямой, если даны:
	381.1	Угол наклона прямой к полярной оси и длину перпендикуляра p,опущенного из полюса на эту пряму; написать уравнение этой прямой в случае , p=3;
	381.2	Отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, осчитая от полюса, и полярный угол нормали этой прямой; написать уравнение этой прямой в случае а=2; ;
	381.3	Угол наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отекает прямая на полярной оси, считая от полюса; написать уравнение этой прямой в случае , а=6.
		Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M1( ; ) и наклоненной к полярной оси под углом .
		Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M1( ; ), полярный угол нормали которой равен .
		Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1( ; ) и M2( ; ).

ЧАСТЬ 4. Геометрические свойства линий второго порядка

Глава 17. Окружность

		Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
	385.1	центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;
	385.2	центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7;
	385.3	окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; -8);
	385.4	окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);
	385.5	точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;
	385.6	центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности;
	385.7	центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является касательной к окружности;
	385.8	окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой ;
	385.9	окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0);
	385.10	окружность проходит через три точки: М1(-1; 5), М2(-2; -2). М3(5; 5).
		Точка С(3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.
		Написать уравнения окружностей радиуса , касающихся прямой в точке М1(3; 1).
		Составить уравнение окружности, касающейся прямых , , причем одна из них – в точке А(2; 1).
		Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются прямых , .
		Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой , касается прямых , .
		Составить уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем одной из них – в точке М1(1; 2).
		Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся прямых , .
		Составить уравнение окружностей, которые, имея центры на прямой , касаются прямых , .
		Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и касающихся прямых , .
		Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .
		Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .
		Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:
	397.1	;
	397.2	;
	397.3	;
	397.4	;
	397.5	;
	397.6	;
	397.7	;
	397.8	;
	397.9	;
	397.10	.
		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	398.1	;
	398.2	;
	398.3	;
	398.4	;
	398.5	;
	398.6	;
	398.7	;
	398.8	;
	398.9	;
	398.10	.
		Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:
	399.1	;
	399.2	;
	399.3	;
	399.4	;
	399.5	.
		Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:
	400.1	и ;
	400.2	и ;
	400.3	и ;
	400.4	и .
		Составить уравнение диаметра окружности , перпендикулярного к прямой .
		Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих случаев:
	402.1	А(6; -8), ;
	402.2	В(3; 9), ;
	402.3	С(-7; 2), .
		Определить координаты точек пересечения прямой и окружности .
		Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:
	404.1	, ;
	404.2	, ;
	404.3	, .
		Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
	405.1	пересекает окружность ;
	405.2	касается этой окружности;
	405.3	проходит вне этой окружности.
		Вывести условие, при котором прямая касается окружности .
		Составить уравнние диаметра окружности , проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой .
		Составить уравнение хорды окружности , делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.
		Определить длину хорды окружности , делящейся в точке А(1; 2) пополам.
		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, на которых окружность отсекает хорды длиною .
		Даны окружности , , пересекающиеся в точках М1(x1, y1), М2(x2, y2). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М1, М2, а также прямая М1М2 могут быть определены уравнением вида при надлежащем выборе числе и .
		Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; -1) и точки пересечения окружностей , .
		Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения окружностей , .
		Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .
		Вычислить расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .
		Определить длину общей хорды окружностей , .
		Центр окружности лежит на прямой . Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения окружностей , .
		Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-1; 2).
		Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-5; 7).
		На окружности найти точку М1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.
		Точка М1(x1, y1) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М1.
		Точка М1(x1, y1) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М1.
		Определить острый угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой и окружности называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной к точке их пересечения).
		Определить, при каким углом пересекаются окружности , (углом между окружностями называется угол между их касательными в точке пересечения).
		Вывести условие, при котором окружности , пересекаются под прямым углом.
		Доказать, что окружности , пересекаются под прямым углом.
		Из точки А(5/3; -5/3) проведены касательной к окружности . Составить их уравнения.
		Из точки А(1; 6) проведены касательные к окружности . Составить их уравнения.
		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности .
		Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности . Определить угол, образованный этими касательными.
		Из точки Р(2; -3) проведены касательные к окружности . Составить уравнение хорды, соединяющий точки касания.
		Из точки С(6; -8) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.
		Из точки Р(-9; 3) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания.
		Из точки Р(4; -4) проведены касательные к окружности . Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.
		Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; -2) к окружности .
		Составить уравнение касательных к окружности , параллельных прямой .
		Составить уравнения касательных к окружности , перпендикулярных к прямой .
		Составить уравнение окружности в полярных координатах в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C(R, ).
		Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности:
	439.1	C(R, 0);
	439.2	C(R, );
	439.3	C(R, );
	439.4	C(R, ).
		Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:
	440.1	;
	440.2	;
	440.3	;
	440.4	;
	440.5	;
	440.6	;
	440.7	).
		Окружности заданы уравнениями в полярных координатах. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
	441.1	;
	441.2	;
	441.3	.
		Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
	442.1	;
	442.2	;
	442.3	;
	442.4	;
	442.5	.
		Составить полярное уравнение касательной к окружности в точке М1(R, ).

Глава 18. Эллипс

		Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
	444.1	его полуоси ранвы 5 и 2;
	444.2	его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
	444.3	его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;
	444.4	расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.
	444.5	его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.
	444.6	его малая ось равна 10, а эксцентриситет e=12/13;
	444.7	расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2c=4;
	444.8	его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
	444.9	его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
	444.10	расстояние между его директрисами равно 32 и e=1/2.
		Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, кроме того, что:
	445.1	его полуоси равны соответственно 7 и 2;
	445.2	его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
	445.3	расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.
	445.4	его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.
	445.5	расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами равно 50/3;
	445.6	расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.
		Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:
	446.1	;
	446.2	;
	446.3	;
	446.4	;
	446.5	;
	446.6	;
	446.7	;
	446.8	;
	446.9	;
	446.10	.
		Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
		Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.
		Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
		Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , две другие лежат с концами его малой оси.
		Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса до односторонней с этим фокусом директрисы.
		Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).
		На эллипсе найти точку, абсцисса которых равна –3.
		Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2; -4), A4(-1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2), A8(2; 1), A9(0; 15), A10(0; -16) лежат на эллипсе , какие внутри и какие вне его.
		Установить, какие линии опеределяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	455.1	;
	455.2	;
	455.3	;
	455.4	.
		Эксцентриситет эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
		Эксцентриситет эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, односторонней с этой директрисой.
		Дана точка М1(2; -5/3) на эллипсе ; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.
		Убедившись, что точка M1(-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М1.
		Эксцентриситет эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
		Эксцентриситет эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением x=16. Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной –4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.
		Определить точки эллипса , расстояние которых до правого фокуса равно 14.
		Определить точки эллипса , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.
		Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
		Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
	465.1	точка М1( ; 2) эллипса и его малая полуось b=3;
	465.2	точка М1(2; -2) эллипса и его большая полуось a=4;
	465.3	точки М1(4; Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Глава 16. Полярное уравнение прямой 1 страница Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой Глава 16. Полярное уравнение прямой 2 страница Глава 16. Полярное уравнение прямой 3 страница Глава 16. Полярное уравнение прямой 4 страница Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Уравнение прямой проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. ← Предыдущая страница | Следующая страница →