Глава 16. Полярное уравнение прямой 2 страница

Глава 18. Эллипс

		Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
	444.1	его полуоси ранвы 5 и 2;
	444.2	его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
	444.3	его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;
	444.4	расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.
	444.5	его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.
	444.6	его малая ось равна 10, а эксцентриситет e=12/13;
	444.7	расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2c=4;
	444.8	его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
	444.9	его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
	444.10	расстояние между его директрисами равно 32 и e=1/2.
		Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, кроме того, что:
	445.1	его полуоси равны соответственно 7 и 2;
	445.2	его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
	445.3	расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.
	445.4	его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.
	445.5	расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами равно 50/3;
	445.6	расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.
		Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:
	446.1	;
	446.2	;
	446.3	;
	446.4	;
	446.5	;
	446.6	;
	446.7	;
	446.8	;
	446.9	;
	446.10	.
		Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
		Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.
		Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
		Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , две другие лежат с концами его малой оси.
		Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса до односторонней с этим фокусом директрисы.
		Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).
		На эллипсе найти точку, абсцисса которых равна –3.
		Определить, какие из точек A₁(-2; 3), A₂(2; -2), A₃(2; -4), A₄(-1; 3), A₅(-4; -3), A₆(3; -1), A₇(3; -2), A₈(2; 1), A₉(0; 15), A₁₀(0; -16) лежат на эллипсе , какие внутри и какие вне его.
		Установить, какие линии опеределяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	455.1	;
	455.2	;
	455.3	;
	455.4	.
		Эксцентриситет эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
		Эксцентриситет эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, односторонней с этой директрисой.
		Дана точка М₁(2; -5/3) на эллипсе ; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М₁.
		Убедившись, что точка M₁(-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М₁.
		Эксцентриситет эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки М₁ эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
		Эксцентриситет эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением x=16. Вычислить расстояние от точки M₁ эллипса с абсциссой, равной –4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.
		Определить точки эллипса , расстояние которых до правого фокуса равно 14.
		Определить точки эллипса , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.
		Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
		Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
	465.1	точка М₁( ; 2) эллипса и его малая полуось b=3;
	465.2	точка М₁(2; -2) эллипса и его большая полуось a=4;
	465.3	точки М₁(4; ) и М₂( ; 3) эллипса;
	465.4	точка М₁( ; -1) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
	465.5	точка М₁(2; -5/3) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
	465.6	точка М₁(8; 12) эллипса и расстояние r₁=20 от нее до левого фокуса.
	465.7	точка М₁( ; 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.
		Определить эксцентриситет e эллипса, если:
	466.1	его малая ось видна из фокусов под углом 60⁰;
	466.2	отрезок между фокусами виден и вершин малой оси под прямым углом;
	466.3	расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;
	466.4	отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.
		Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (см. рис.). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки и будут параллельны.
		Составить уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x₀, y₀), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат.
		Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
		Точка С(-3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:
	471.1	;
	471.2	;
	471.3	.
		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	472.1	;
	472.2	;
	472.3	;
	472.4	.
		Составить уравнение эллипса, зная, что:
	473.1	его большая ось равна 26 и фокусы суть F₁(-10; 0), F₂(14;0);
	473.2	его малая ось равна 2 и фокусы суть F₁(-1; -1), F₂(1; 1);
	473.3	его фокусы суть F₁(-2; 3/3), F₂(2; -3/2) и эксцентриситет e= .
	473.4	его фокусы суть F₁(1; 3), F₂(3; 1) и расстояние между директрисами равно .
		Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы
		Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы .
		Точка А(-3; -5) лежит на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.
		Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение соответствующей директрисы .
		Точка M₁(2; -1) лежит на эллипсе, фокус которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.
		Точка M₁(3; -1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет e= .
		Найти точки пересечения прямой и эллипса .
		Найти точки пересечения прямой и эллипса .
		Найти точки пересечения прямой и эллипса .
		Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями:
	483.1	, ;
	483.2	, ;
	483.3	, .
		Определить, при каких начениях m прямая :
	484.1	пересекает эллипс ;
	484.2	касается его;
	484.3	проходит вне этого эллипса.
		Вывести условие, при котором прямая касается эллипса .
		Составить уравнение касательной к эллипсу в его точке M₁(x₁; y₁).
		Доказать, что касательные к эллипсу , проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. (Диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через его центр).
		Составить уравнения касательных к эллипсу , параллельных прямой .
		Составить уравнения касательных к эллипсу , перпендикулярных к прямой .
		Провести касательные к эллипсу параллельно прямой и вычислить расстояние d между ними.
		На эллипсе найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁до этой прямой.
		Из точки А(10/3; 5/3) проведены касательные к эллипсу . Составить их уравнения.
		Из точки С(10; -8) проведены касательные к эллипсу . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
		Из точки Р(-16; 9) проведены касательные к эллипсу . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания.
		Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой . Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат.
		Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых , , при условии, что его ося совпадают с осями координат.
		Доказать, чо произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокульную ось, если величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.
		Доказать, что произвдение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
		Прямая касается эллипса, фокусы которого находятся в точках F₁(-3; 0), F₂(3; 0). Составить уравнение этого эллипса.
		Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к эллипсу и его малая полуось b=2.
		Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит вне угла F₁MF₂.
		Из левого фокуса эллипса под тупым углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя до эллипса, луч на него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
		Определить точки пересечения эллипсов , .
		Убедившись, что эллипсы , ( ) пересекаются в четырех точках, лежающих на окружности с центром в начале координат, определить радиус R этой окружности.
		Плоскости и образуют угол =30⁰. Опредлить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость окружности радиуса R=10,лежащей на плоскости .
		Эллипс, малая полуось которого равна 6, является проекцией окружности радиуса R=12. Опредилть угол между плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность.
		Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под уголом =30⁰.
		Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R= . Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью a=2.
		Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2). Определить, в какую линию преобразуется окружность , если коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.
		Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4. Определить уравнение линии, в которую при таком сжатии преобразуется эллипс .
		Найти уравнение линии, в которую преобразуется эллипс при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и 6/7.
		Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ox, при котором эллипс преобразуется в эллипс .
		Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Oy, при котором эллипс преобразуется в эллипс .
		Определить коэффициенты q₁, q₂ двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых эллипс преобразуется в окружность .