Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала

Мы уже подчёркивали, что дифференциал функции представляет собой главную часть приращения функции, поэтому получаем приближенное равенство или . Это достаточно хорошо видно на рис.4.

Конечно, если - большое, то разница между и ощутимая. Но ясно, что чем меньше , тем меньше указанная разница и тем оправданнее использование приближённой формулы Учитывая

получим формулу приближённых вычислений значений функции с помощью дифференциала:

Формула справедлива для любого значения аргумента На практике выбирают какое-нибудь одно и формула имеет вид:

(3)

Пример 10. Вычислить приближённо с помощью дифференциала число

Решение. Число А есть значение функции в точке х=224. Точка - «неудобная» точка – из этого числа корень«не извлекается», т.е. значение корня не равно целому числу. Поэтому подбираем ближайшую удобную точку Тем самым определилось приращение аргумента Теперь остаётся обратиться к формуле приближённых вычислений (3). Находим f

Подставляем всё найденное в формулу (3):

Основные теоремы дифференциального исчисления

Так называется ряд теорем, появившихся в XVIII веке в трудах французских и немецких математиков и давших начало развитию математического анализа. Рассмотрим несколько основных теорем.

Теорема Ферма. Если функция дифференцируема на отрезке и во внутренней точке этого отрезка принимает наибольшее (наименьшее) значение, то производная в этой точке равна нулю.

Доказательство: Пусть наибольшее значение достигается в точке Геометрическое доказательство (геометрический смысл) теоремы очевидно-касательная к графику функции в точке параллельна оси абсцисс (рис. 5).

Рис.5.

Проведём аналитическое доказательство. По определению

Пусть в точке достигается наибольшее значение. Тогда при любом знаке .

Если

если

Поскольку число, то два неравенства выполняются при

Теорема Лагранжа. Если функция дифференцируема на отрезке , то внутри отрезка найдётся по крайней мере одна точка с такая, для которой имеет место формула

Рассмотрим геометрический смысл формулы Лагранжа которую запишем в виде .

В

А М

Рис.6 Рис. 10

На рис. 6 тогда - из прямоугольного треугольника . Далее мысленно передвигаем секущую параллельно самой себе до тех пор, пока она не станет касательной – абсцисса точки касания и есть т.к. .

Формула Тейлора.

В общем виде постановка задачи формулируется следующим образом. Имеется функция и по некоторым причинам её исследование затруднительно. Поэтому её желательно заменить другой, «близкой к данной». Понятие «близкая» уточняется в каждом конкретном случае.

В нашем случае пусть имеется функция , которую мы желаем заменить многочленом

(4)

степени , записанным по степеням , где - некоторое число. Коэффициенты этого многочлена требуется подобрать такими, чтобы выполнялись условия

(5)

Условия (5) и являются конкретным уточнением понятия «близкие» функции. Они требуют, чтобы в точке совпадали значения многочлена и функция и их производные до го порядка включительно. Как видим, у многочлена надо найти коэффициент , и для этого имеется равенств в формуле (5). Итак, реализуем условия (5).

Во-первых, находим , т.е. в формулу (4) подставляем , все скобки обращаются в ноль, получаем Из первого условия формулы получаем .

Далее последовательно находим производные многочлена , подставляем и используем соответствующее условие формулы (5).

.

Нетрудно видеть, что

Намечается закономерность

Доказано, что эта закономерность действительно имеет место. Для придания полученным формулам более компактный вид введём следующее определение.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до обозначается и называется эн - факториал:

Отметим, что сомножитель 1 поставлен не только «для красоты»,- эн – факториал содержит эн - сомножителей. Из определения следует, что Более того, договорились считать . Возвратимся к формулам для коэффициентов, для которых получаем общий вид:

Таким образом, получаем искомый многочлен

Многочлен , записанный в виде (6), называется многочленом Тейлора для функции . Мы уже говорили, что имеет место приближённое равенство , т.е.

Формула (7) называется разложением функции по формуле Тейлора. Как видим, эта формула является приближённой. Разность называется остаточным членом формулы Тейлора: тогда получим

Существуют разные формы остаточного члена С помощью теоремы Лагранжа доказано, что между точками и существует точка такая, что

(8)

Формула (8) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Подчеркнём, что в виде (8) похож на следующий, - й член формулы Тейлора, с той лишь разницей, что вместо берётся точка , о которой известно лишь то, что она существует, где то между точками . Итак, мы получили формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа:

Заметим, что если ограничиться , то получим

Видим, что первые два слагаемых дают приближённое вычисление значения функций с помощью дифференциала, но теперь мы имеем возможность оценить погрешность наших вычислений.