Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Общий вид: а₁; а₂; а₃; … а_n; … (или (а_n)).

Способы задания последовательностей:

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, указывающей, как по номеру n члена последовательности вычислить его значение а.

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.

2. Реккурентный (индуктивный) способ: он состоит в том, что указывается правило (обычно это формула), позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности. Эта формула называется реккурентным соотношением.

3. Последовательность может быть задана словесно, т.е. описанием ее членов.

При изучении последовательностей удобно использовать их геометрическое изображение. Для этого используют в основном 2 способа:

1. Т.к. последовательность (а_n) есть функция, заданная на N, то ее можно изобразить как график этой функции с координатами точек (n; а_n).

2. Члены последовательности (а_n) можно изобразить точками х=а_n.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность (а_n) называется ограниченной, если существуют числа M и m, такие, что имеет место неравенство m≤a_n≤M. В противном случае она называется неограниченной.

Существует 3 вида неограниченных последовательностей:

1. Для нее существует m и не существует M – в таком случае она ограниченная снизу и неограниченная сверху.

2. Для нее не существует m и существует M – в таком случае она неограниченная снизу и ограниченная сверху.

3. Для нее не существует ни m, ни М – в таком случае она не ограниченная ни снизу, ни сверху.

Монотонные последовательности.

К монотонным последовательностям относятся убывающие, строго убывающие, возрастающие, строго возрастающие последовательности.

Последовательность (а_n) называется убывающей, если каждый предыдущий член не меньше последующего: а_n+1≤a_n.

Последовательность (а_n) называется строго убывающей, если каждый предыдущий член строго больше последующего: а_n>a₂>a₃>…>a_n+1>…

Последовательность (а_n) называется возрастающей, если каждый последующий член не меньше предыдущего: а_n≤a_n+1.

Последовательность называется строго возрастающей, если каждый последующий член строго больше предыдущего: а₁<a₂<a₃<…<a_n<a_n+1<…

Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах.

Число а называется пределом последовательности (а_n), если для каждого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что для любого n>N выполняется неравенство:

|a_n – a| < ε.

В этом случае пишут: lim a_n = a , или a_n->a при n->∞.

^n->∞

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Если последовательность имеет предел, то она ограниченная.

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Для того, чтобы число а было пределом последовательности (а_n), необходимо и достаточно, чтобы а_n имело представление а_n=а+α_n, где (α_n) - бесконечно малая последовательность.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Теоремы о пределах:

1. О пределе суммы: Если последовательность (а_n) и (в_n) сходятся, то последовательность (а_n + в_n) также сходится и: lim (а_n + в_n) = lim а_n + lim в_n.

^{n->∞ n->∞ n->∞}

2. О пределе произведения: Если последовательности (а_n) и (в_n) сходятся, то последовательность (а_n ∙ в_n) также сходится и:

lim (а_n ∙ в_n) = lim а_n ∙ lim в_n.

^{n->∞ n->∞ n->∞}

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim (са_n) = с ∙ lim а_n

^{n->∞ n->∞}

3. Если последовательности (а_n) и (в_n) сходятся, то последовательность (а_n/в_n) также сходится и: lim (а_n / в_n) = (lim а_n )/ (lim в_n).

^{n->∞ n->∞ n->∞}

Функция. Способы задания функции.

Если каждому элементу х по какому-либо правилу f поставлен в соответствие элемент у, единственный для каждого х, то говорят, что на множестве А задана функция f со значением из множества В, и пишут: f :А->В, или у=f (х).

Пусть задана функция у=f (х). Тогда х назыв. аргументом или независимой переменной, а у – значением функции или зависимой переменной.

Множество А называют областью определения функции, а множество всех у, поставленных в соответствие хотя бы одному х – множеством значений функции. Область определения функции называют также областью значений аргумента, или областью изменения независимой переменной..

Способы задания функции:

1. Табличный способ.

2. Аналитический способ: при таком способе указывается область определения функции (множество А), и формулируется закон (задается формула), по которому каждому х сопоставляется соответствующий у.

3. Способ словесного описания.

4. Геометрический (графический) способ: задать функцию графически – значит изобразить ее график.