Линейный коэффициент корреляции

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В

ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

Основные понятия в корреляционном и регрессионном анализе

В математике существуют два понятия, отражающие причинно-следственные связи между признаками: функциональная и корреляционная зависимость.

Под функциональной зависимостью понимается такая связь между величинами, когда значение зависимой величины – функции – полностью определяется значениями зависимых переменных.

Корреляционная зависимость имеет место, когда каждому значекнию одной (результативной) величины соответствует множество случайных значений другой, возникающей с определенной вероятностью.

При изучении экономических явлений мы имеем дело не с функциональной, а с корреляционной зависимостью. С помощью корреляционного и регрессионного анализа можно рассчитать коэффициенты корреляции, которые оценивают силу связи между отдельными показателями, подобрать

уравнение регрессии, которое определяет форму этой связи, и установить достоверность существования этой связи.

Процесс корреляционного и регрессионного анализа экономических процессов состоит из следующих этапов:

- предварительная обработка статистических данных и выбор основных факторных признаков, влияющих на результативный показатель;

- оценка тесноты связи и выявление формы существующей связи между результативным и факторными признаками;

- разработка модели (многофакторной) изучаемого явления и ее анализ;

- применение полученных результатов проведенного анализа для принятия управленческих решений.

Перед корреляцией стоят две основные задачи. Первая заключается в выявлении, как изменяется в среднем результативный признак в связи с изменением факторного. Эта задача решается нахождением уравненимя связи.Вторая задача определяет степень влияния искажающих факторов. Эту задачу решают путем изучения показателей тесноты связи. Такими показателями являются коэффициенты корреляции и корреляционное отношение.

2. Результативный и факторный признаки. При изу­чении влияния одних признаков явлений на другие из цепи признаков, характеризующих данное явление, выделяются два - признака—факторный (влияющий на результат) и результативный. Необходимо установить, какой из признаков является факторным и какой результативным. В этом помогает прежде всего логиче­ский анализ.

Пример. Себестоимость промышленной продукции отдель­ного предприятия зависит от многих факторов, в том числе от объема продукции на данном предприятии. Себестоимость про­дукции выступает в этом случае как результативный признак, а объем продукции — как факториальный.

Другой пример. Чтобы судить о преимуществах круп­ных предприятий перед мелкими, можно рассмотреть, как увеличива­ется производительность труда рабочих крупных предприятий, и выявить зависимость производительности труда от увеличения размеров предприятия.

3. Понятие об уравнение связи. Уравнение этой функции будет уравнением связи между результативным и факториальным признаками.

Уравнение связи находится с помощью способа наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений от значений, получаемых на основании уравнения связи, была минимальной.

Применение способа наименьших квадратов позволяет нахо­дить параметры уравнения связи при помощи решения системы так называемых нормальных уравнений, различных для связи каждого вида.

Чтобы отметить, что зависимость между двумя признаками выражается и среднем, значения результативного признака, найденные по уравнению связи, обозначаются Ух.

Зная уравнение связи, можно вычислить заранее среднее значение результативного признака, когда значение. факториального признака известно. Таким образом, уравнение связи яв­ляется методом обобщения наблюдаемых статистических связей, методом их изучения.

Применение той или иной функции в качестве уравнения связи разграничивает связи по их форме: линейную связь и криволинейную связь (параболическую, гиперболическую и др.).

Рассмотрим уравнения связи для зависимостей от одного признака при разных формах связи, (линейной, криволинейной параболической, гиперболической) и для множественной связи.

4. Линейная зависимость между признаками. Уравнение связи как уравнение прямой Ух==ао+а1х применяется в случае равномерного на­растания результативного признака с увеличением признака факториального. Такая зависимость будет зависимостью линей­ной (прямолинейной).

Параметры уравнения прямой линии ао и а1 находятся путем решения системы нормальных уравнений, получаемых по способу наименьших квадратов:

Примером расчета параметров уравнения и средних значе­ний результативного признака Ух может служить следующая таблица, являющаяся результатом группировки по факториальному признаку и подсчета средних по результативному при­знаку.

Группировка предприятий по стоимости основных средств и подсчет сумм необходимы для уравнения связи.

Группы предприятий по стоимости основных средств	Выработка продукции на одного работника(тыс.руб)	Среднее значение интервала	Х	У * Х	Ух
До 1 млн. руб, 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 – 5 5 и более	6,5 7,0 8,0 8,5	0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5	0,25 2,25 6,25 12,25 20,25 30,25	2,0 9,0 13,75 24,50 36,0 46,75	4,35 5,21 6,07 6,93 7,79 8,65
Итого	40,0	18,0	71,50	132,0	40,0

Из таблицы находим: n==6; =18; =39,0; =71,5

= 132.0. Строим систему двух уравнений с двумя неизвест­ными:

Поделив каждый член в обоих уравнениях на коэффициенты при aо получим:

Вычтем из второго уравнения первое: 0,97а1=0,83; а1==0,86. Подставив значения а1 в первое уравнение aо+3*0,86 =6,5, най­дем ао=6,5—2,58=+3,92.

Уравнение связи примет вид: yx=3,92+0,86х. Подставив в это уравнение соответствующие х, получим значения резуль­тативного признака, отражающие среднюю зависи­мость у от х в виде корреляционной зависимости.

Заметим, что суммы, ис­численные по уравнению и фактические, равны между собой. Изображение факти­ческих и вычисленных зна­чений на рис. 4 показывает, что уравнение связи ото­бражает наблюденную зависимость в среднем.

5. Параболическая зависимость между признаками. Параболическая зависимость, выражаемая уравнением параболы 2-го порядка уx =ао+a1x+a2x², имеет место при ускоренном возрастании или убывании результативного признака в сочетании с равномерным возрастанием факто­риального признака.

Параметры уравнения параболы aо; а1; а2, вычисляются пу­тем решения системы 3 нормальных уравнений:

Возьмем для примера зависимость месячного выпуска про­дукции (у) от величины стоимости основных средств (х). Оба показателя округлены до миллионов рублей. Расчеты необходи­мых сумм приведем в табл. 5.

По данным таблицы составляем систему уравнений:

6. Уравнение гиперболы. Обратная связь указывает на убывание результативного признака при возрастании факториального. Такова линейная связь при отрицательном значении а1. В ряде других случаев обратная связь может быть выражена уравнением гиперболы

Параметры уравнения гиперболы ао и а1 находятся из си­стемы нормальных уравнений:

7. Корреляционная таблица. При большом объеме наблюдений, когда число взаимосвязанных пар велико, парные данные легко могут быть располо­жёны в корреляционной таблице, являющейся наиболее удобной фор­мой представления значительного количества пар чисел.

В корреляционной таблице один признак располагается в строках, а другой — в колонках таблицы. Чис­ло, расположенное в клетке на пе­ресечении графы и колонки, пока­зывает, как часто встречается дан­ное значение результативного при­знака в сочетании с данным значе­нием факториального признака.

Для простоты расчета возьмем небольшое число наблюдений на 20 предприятиях за средней месячной выработкой продукции на одного рабочего (тыс. руб.—у) и за стоимостью основных производст­венных средств (млн. руб.—.х).

В обычной парной таблице эти сведения располагаются так:

Итоги строк у показывают частоту признака nу, итоги граф х — частоту признака nx. Числа, стоящие в клетках корреля­ционной таблицы, являются частотами, относящимися к обоим признакам и обозначаются, nxy.

Корреляционная таблица даже при поверхностном знакомст­ве дает общее представление о прямой и обратной связи. Если частоты расположены по диагонали вниз направо, то связь между признаками прямая (при увеличивающихся значениях признака в строках и графах). Если же частоты расположены по диагонали вверх направо, то связь обратная.

8. Корреляционное отношение. Если произведено измере­ние явления по двум признакам, то имеется возможность находить меры рассеяния (главным образом дисперсию) по результативному признаку для одних и тех же значений факториального признака.

Дана, например, корреляционная таблица двух взаимозави­симых рядов, в которых для простоты имеется лишь три .значе­ния факториального признака количества внесенных удобрений (х), а результативный признак—урожайность (у)—значитель­но колеблется. Таблица 16

Каждая группа участков с разной урожайностью имела раз­ное количество внесенных удобрений. Так, когда вносилось удобрений по 20 г/ урожайность' на разных участках была рав­ной: на одном участке она составила 0,8 т, на двух участках— 0,9 т, на трех— 1,0 т и на одном — 1,1 т. Найдем среднюю уро­жайность и дисперсию по урожайности для этой группы уча­стков.

Для группы участков с количеством внесенных удобрений 30,0 г средняя урожайность составит:

Вычислим аналогичные характеристики для группы участ­ков. получивших удобрений по 40 т:

Из этих данных можно определить также средний урожай всех 20 участков, независимо от количества внесенных удобре­ний, т. е. общую среднюю:

и меру колеблемости (дисперсию) средней урожайности групп •около общей средней. Эту дисперсию называют межгрупповой ^дисперсией и обозначают б²

где уi—средние урожайности по группам участков, отличаю­щихся количеством внесенных удобрений; m1,m2,m3,—числен­ности групп. Межгрупповая дисперсия для данного примера составит:

Межгрупповая дисперсия показывает рассеяние, возникаю­щее за счет факториального признака. В данном примере У= == 0,01&247 является показателем рассеяния урожайности, возникшего за счет разности в количестве внесенных удобрений.

Однако, кроме межгрупповой дисперсии, можно вычислить и дисперсию как показатель рассеяния за счет остальных фак­торов (если называть так все прочие факторы, кроме удоб­рений). Этот показатель явится средней (взвешенной) величи­ной из показателей рассеяния (дисперсий) по группам участков

Это практически означает, что можно получить общую меру рассеяния (дисперсию) для всех 20 участков, если имеются сведения о средних и дисперсиях по группам участков, отличающихся количеством внесенных удобрений. Следовательно, общая дисперсия по урожайности для 20 участков составит;

Формулы для исчисления межгрупповой и средней из груп­повых дисперсий можно сокращенно записать так:

Расчет общей дисперсии, внутригрупповой и межгрупповой дисперсии позволяет делать некоторые выводы о мере влияния факториального признака на колеблемость признака резуль­тативного. Эта мера влияния находится при помощи корреля­ционного отношения:

Значит, колеблемость по урожайности участков на 78% зависит от колеблемости количества внесенных удобрений.

Линейный коэффициент корреляции

При изучении тесноты связи между двумя взаимозависимыми рядами применяется линейный коэффициент корреляции, который показывает, существует ли и насколько велика связь между этими рядами. Он может принимать значения в пределах от –1 до +1.

Если линейный коэффициент корреляции отрицателен, то это говорит об обратной связи между признаками; если же он положителен – о прямой связи. Если он равен нулю, то связи между признаками нет, а если равен 1-це, то между признаками существует не корреляционная, а функциональная связь.

Для расчета линейного коэффициента корреляции пользуются следующей формулой::

где – среднее значение произведения х на у;

и – среднее значение соответствующих признаков;

и – средние квадратические отклонения, найденные по признаку х и по признаку у.

10.Совокупный коэффициент корреляции:

,

где r – линейные коэффициенты корреляции, а подстрочные знаки показывают, между какими признаками они исчисляются.