Решение неравенств высших степеней

Рекомендации по решению неравенств и систем неравенств

Прежде чем решать неравенство, следует определить его вид.

Все линейные неравенства решают как линейные уравнения, сохраняя знак неравенства, все остальные неравенства можно решить методом интервалов.

Решение линейных неравенств.

1)Раскрыть скобки, если они есть; знак неравенства сохраняется;

2)Перенести все неизвестные в одну часть, известные – в другую, при этом меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные; знак неравенства сохраняется;

3)Привести подобные слагаемые; знак неравенства сохраняется;

4) Обе части неравенства разделить на коэффициент перед переменной, при этом знак неравенства сохраняется, если делим на положительное число, и меняется на противоположный, если делим на отрицательное число;

5) Показываем решение на координатной прямой и записываем ответ числовым промежутком.

Например:

4(2−3x)≥ 7−5x

8−12x≥7−5x 1/7 х

−12x+5x≥7−8

−7x≥−1 |:(-7)

x≤1/7

Ответ: x∈(−∞;1/7]

Решение неравенств методом интервалов

Решение квадратных неравенств

1) Приравнять квадратный трехчлен к нулю и найти его корни;

2) Разложить квадратный трехчлен на множители по формуле ах²+вх+с=а(х-х₁)*(х-х₂);

3) Отметить корни на координатной прямой и нарисовать интервалы. Если трехчлен не имеет корней, то интервалов на прямой нет.

4) Отметить знак выражения на каждом интервале координатной прямой.

5) Выбрать нужный интервал, в соответствии со знаком неравенства (если знак неравенства > или ≥, то выбираем интервалы со знаком +, если знак неравенства < или ≤, то выбираем интервалы со знаком -)

6) Записать ответ.

Например:1) Решить неравенство: .

Ответ: .

2) Решить неравенство: x² – 6x + 9 > 0

x² -6x + 9 = 0

(x – 3)² = 0

x – 3 = 0

x = 3 (x – 3)² > 0

+ 3 +

X Є (-∞; 3) ᴜ (3; +∞) x

3) Решить неравенство: 2x² – x + 3 < 0

2x² – x + 3 = 0

D =(-1)² -4 * 2 * 3 = 1 – 24 = -23 < 0, значит уравнение не имеет корней.

2x² – x + 3 < 0

+ + + x

Неравенство не имеет корней

Решение неравенств высших степеней.

1) Перенести слагаемые из правой части в левую (справа должен быть 0!)

2) Если неравенство не разложено на множители, то его следует разложить на множители;

3) Найти корни каждого линейного множителя;

4) Отметить кратность каждого корня (сколько раз корень повторяется в этом выражении)

5) Отметить корни на координатной прямой и нарисовать интервалы.

6) Отметить знак выражения на каждом интервале координатной прямой (рекомендуется с крайнего правого интервала)

7) Выбрать нужный интервал, в соответствии со знаком неравенства (если знак неравенства > или ≥, то выбираем интервалы со знаком +, если знак неравенства < или ≤, то выбираем интервалы со знаком -)

8) Записать ответ

Например:

Решить неравенство

Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала, при этом учитываем кратность корней. Если кратность корня четная, то при переходе через этот корень, знак выражения не меняется, если кратность – нечетная, то при переходе через корень меняется знак выражения.

В ответ включаем интервалы, отмеченные знаком +, т.к. знак неравенства ≥ и точки, где многочлен равен 0, т.к. неравенство нестрогое.

Ответ: х ϵ [-2;0]U[3;∞); х=-5; х=1