Уравнения высших степеней

Алгебраические уравнения

И Алгебраические неравенства

Уравнения высших степеней

Уравнение вида

(3.1)

где называется уравнением n-й степени.

Если уравнение называется линейным.

Если уравнение называется квадратным.

Если уравнение называется однородным.

Основными методами решения уравнений типа (3.1) при являются:

1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (3.1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;

2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (3.1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;

3) поиск корней среди делителей свободного члена.

Рассмотрим некоторые виды уравнений (3.1) и их решения.

Уравнения вида решаются вынесением общего множителя за скобки:

и сведением к совокупности:

Уравнение вида

(3.2)

решается заменой Получаем уравнение которое решается, как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.

При уравнение (3.2) имеет вид:

– биквадратное уравнение.

Уравнение

(3.3)

где сводится к биквадратному уравнению заменой

Уравнение

(3.4)

где и А таковы, что и сводится к биквадратному уравнению заменой

или при к уравнению

заменой

Уравнение

(3.5)

где и делением на (так как – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:

далее заменой оно сводится к квадратному уравнению.

Уравнение

где и А таковы, что сводится к уравнению вида (3.5) после попарного перемножения выражений в скобках:

Уравнения вида

(3.6)

где называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Так как

то уравнение (3.5) равносильно совокупности уравнений:

Уравнения вида

(3.7)

где называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Так как не является корнем уравнения (3.7), то деление обеих частей уравнения (3.7) на приводит его к уравнению

или

Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Выносим общий множитель за скобки:

Получаем совокупность уравнений

Ее решение дает три корня:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Заменяем и приходим к уравнению

Последнее уравнение имеет корни:

Возвращаемся к переменной х:

Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:

Пример 3.Решить уравнение

Решение. Задано уравнение вида (3.3). Заменяем

т. е. Подставим это значение в заданное уравнение:

После упрощения имеем:

Дополним до полного квадрата суммы:

После упрощения уравнение приобретает вид:

т. е.

Его решением является лишь

Возвращаясь к переменной х, получим что приводит к ответу:

Пример 4.Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение вида (3.4).

Так как то перемножим выражения во 2-й и 3-й скобках. Получим:

Заменяем

Поскольку приходим к уравнению

Решая его как квадратное, получим корни:

Возвращаемся к переменной х:

Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, так как а второе имеет корни что и будет ответом.

Пример 5.Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение вида (3.5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на Получаем

Введем замену которая приводит к уравнению

т. е.

Находим корни и возвращаемся к переменной х:

Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:

т. е.

Получаем в совокупности 4 корня:

Пример 6.Решить уравнение

Решение. Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена 16:

Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Следовательно, многочлен разделится нацело на

Воспользуемся правилом «деления углом»:

Данное уравнение равносильно уравнению

решение которого сводится к совокупности

Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень

Пример 7.Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (3.7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на Приходим к уравнению

Заменяем

соответственно,

и

Приходим к уравнению вида

т. е.

Находим корни:

и возвращаемся к переменной х:

После упрощения получаем:

При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня:

что и является ответом.

Задания

I уровень

1.1.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)