Порядок вычислений по формуле Мора

1. От внешней нагрузки для каждого стержня конструкции находятся формулы для вычислений и построения эпюр N_Р и M_P;

2. В искомом сечении по направлению искомого перемещения прикладывается «единичная нагрузка» (для линейного перемещения – сосредоточенная сила Р₁=1, для угла поворота сечения – сосредоточенный момент m₁=1) и от этого нагрузки во всех стержнях определяются формулами для N₁ и М₁, по которым строятся эпюры и ;

3. Искомое перемещение определяется по формуле Мора (14.7), что на практике сводится к перемножению эпюр: N₁ на N_P и эпюр: М₁ на М_Р для каждого стержня и суммированием результатов;

4. Если в результате вычислений получиться Δ_1Р > 0, то искомое перемещение совпадает с направлением «единичной нагрузки».

В формуле (14.7): Е – модуль упругости материала стержней, А и J – площади и моменты инерции относительно оси изгиба сечений каждого стержня.

На практике в формуле (14.7) используется лишь одно слагаемое:

В фермах, где стержни работают в основном на растяжение-сжатие, оставляют обычно только первое слагаемое. А т.к. эпюры и постоянны по длине стержней, то

. (14.8)

Здесь n – число стержней в ферме.

В рамах (балках) используются обычно стержни большой изгибной жесткости EI и они работают в основном на изгиб. Поэтому с достаточной точностью в (14.7) можно оставить только второе слагаемое

. (14.9)

Правило Верещагина

Перемножение эпюр можно проводить способом Верещагина: произведение эпюр равно площади одной эпюры, умноженной на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Умножение вести с учетом знаков.

Например:

а)

.

б)	Трапецию надо разбить на 2 фигуры: треугольник и прямоугольник:
с)	Верхнюю эпюру с переменными знаками представляют в виде суммы двух треугольников (пунктир) с разными знаками:
d)	Эпюры ограничены параболой n-ой степени. Эти эпюры лучше принимать за первые и для них определять А и : A1= ,   A2= .

Рис.14.2

Определение перемещений в статически

Определимых конструкциях методом сил

Пример 14.1.

Рис.14.3.

У рамы на рис. 14.3а найти вертикальное перемещение т.С от заданной нагрузки q.

Порядок расчета:

1. Строим эпюры М_Рi от нагрузки q для каждого i-го участка:

I участок 0 ≤ S₁ ≤ а, .

Считаем: , ; , ; , .

По этим данным строим эпюру М_Р1 на рис. 14.4.

II участок 0 ≤ S₂ ≤ a .

Строим эпюру М_Р2.

2. По условию задачи надо найти вертикальное перемещение т.С рамы, поэтому в этой точке прикладываем вертикальную силу Р₁=1. Например, вверх на рис. 14.3в.

От этой единичной силы строим эпюры для всех участков рамы:

I участок 0 ≤ S₁≤ a, М₁₁=Р₁S₁, считаем:

II участок 0 ≤ S₂≤ a, М₁₂=Р₁a = a – const.

По этим данным строим эпюры на рис. 14.4.

Рис.14.4

3. Перемножаем эпюры и эпюры , как показано на рис. 14.2, на каждом i-м участке рамы:

	Здесь А1 и ZC1 находим из рис. 14.2d для квадратной параболы n = 2. . У1 найдем из пропорций для нижнего треугольника: , ,
	,

4. Перемещение т. С Δ_С=Δ_1Р найдем по (14.19) суммированием чисел В и К:

Здесь - изгибная жесткость участков рамы.

Получили Δ_С < 0, это означает, что т.С переместится в направлении, противоположном направлению приложенной силы Р₁=1 (вверх). Точка С переместится вниз.

Если для рамы на рис.14.3а надо определить горизонтальное перемещение т.С, то в т.С прикладываем горизонтальную силу Р₁=1. Если надо найти угол поворота сечения в т.С, то в ней прикладываем единичный момент m₁=1. От них и строятся эпюры , а эпюры от нагрузки q не меняются.

Пример 14.2

Рассмотрим ферму, показанную на рис.13.1. Как показано выше в § 13.2, чтобы эта ферма была геометрически неизменяема, в опоре В опорный стержень надо расположить горизонтально, при этом ферма будет статически определима.

Для такой фермы надо определить вертикальное перемещение узла С от действия нагрузок F в узлах С и D.

Порядок расчета:

1) для заданной фермы от заданных нагрузок из обычных уравнений статики для всей фермы находим три опорных реакции R_A, H_A и H_B;

2) методом вырезания узлов или методом сечений находим продольные усилия N_Рi во всех i^х стержнях фермы от заданных нагрузок F;

3) убираем силы F в узлах С и D, а в узле С прикладываем по направлению искомого перемещения вертикальную силу Р=1 (например вниз). От этой единичной силы Р=1 снова определяем все опорные реакции , , и далее находим продольные усилия во всех i^x стержнях фермы;

4) искомое перемещение Δ_С найдем по формуле (14.8)

i=1,2,… 9- число стержней.

Здесь: E – продольный модуль упругости материала стержней;

- площади поперечных сечений и длины всех стержней;

Суммирование надо вести по всем девяти стержням фермы.

Аналогично можно найти перемещение любого узла фермы (вертикальное или горизонтальное), прикладывая в этом узле силу Р=1 по направлению искомого перемещения и определяя от нее усилия . А усилия от внешней нагрузки не меняются.

Пример 14.3. Для балки, показанной на рис.14.5а, найти вертикальные перемещения сечений в т.К и т.D от заданной нагрузки F способом Мора.

Эп.М1 (от P1=1)

Рис.14.5

Решение:

1) Сначала рассмотрим балку с заданной нагрузкой F. Очевидно, что реакции в опорах . Эпюра изгибающих моментов от этой нагрузки М_р (от F) показана на рис.14.5а.

2) Найдем вертикальное перемещение сечения в т.К. Для этого в этой точке приложим единичную силу Р=1. Эпюра М₁ (от Р=1) показана на рис.14.5b.

Перемещение т.К обозначим V_K, его найдем по (14.9) . Для этого надо перемножить эпюру М_р и эпюру М₁ по правилу Верещагина.

Каждая из этих эпюр состоит из двух одинаковых треугольников, поэтому после перемножения этих треугольников эпюр результат надо удвоить:

,

где .

3. Найдем вертикальное перемещение сечения балки в т.D. Для этого в этой точке приложим единичную силу Р₁ =1 (рис.14.5с). Эпюра М₁ (от Р₁=1) показана на этом же рис.14.5с. Перемещение т. D обозначим V_D, его найдем по (14.9) . Для этого надо перемножить эпюру М_р (от F) рис.14.5а и эпюру М₁ (от Р₁=1) рис.14.5с по правилу Верещагина. Площадь эпюры М_р . Ее центр тяжести находится под т.К, а ордината у₂ на эпюре М₁ (рис.14.5с) под этой точкой . На участке ВD балки эпюра М_р=0, поэтому перемножение эпюр М_р и М₁ дает ноль.

Итак .

Величина V_D получилась отрицательной, это значит, что прогиб в сечении D будет направлен вверх, противоположно приложенной силе Р₁=1 на рис.14.5с.

Аналогично можно найти углы поворота сечений q, прикладывая в этих сечениях локальные единичные моменты m₁=1 и строя от них эпюры М₁. А эпюра М_р при этом не меняется.

Расчет статически неопределимых ферм и рам более сложен и подробно рассматривается в курсе «Строительная механика стержневых конструкций».