Плоскости уровня- это плоскости, параллельные ПП. Плоскость , параллельную П1 , называют горизонтальной, а параллельную П2 – фронтальной.

14. Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости.

Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны , если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой.

15. Всякая задача, в условии или в процессе решения которой встречается численная характеристика, называется метрической задачей.

1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости.

1ОМЗ имеет две возможные постановки:

- построить прямую линию, проходящую через данную точку перпендикулярно заданной плоскости;

- построить плоскость , проходящую через данную точку перпендикулярно заданной прямой.

16. Признак перпендикулярности прямой и плоскости для КЧ:

- для первой постановки: чтобы построить прямую l , перпендикулярную плоскости Г , в плоскости Г строят горизонталь h и фронталь f и проводят l₁┴h₁ и l₂┴f₂ ;

- для второй постановки: плоскость Г, перпендикулярную прямой l₁ задают горизонталью h и фронталью f , проводя h₁┴l₁ и f₂┴l₂ .

17. 2ОМЗ- задача на определение натурального вида отрезка прямой или расстояния между двумя точками

2ОМЗ решается по правилу прямоугольного треугольника.

Правило прямоугольного треугольника: длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника , одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП , а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.

18. Правило прямоугольного треугольника: длина отрезка равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника , одним из катетов которого яв-ся проекция отрезка ПП , а вторым – разность расстояний концов отрезка до этой ПП.

19. Главные линии плоскости- горизонталь, фронталь, линия ската.

Горизонталь проецируется на П₂ в прямую параллельную оси , а на П₁ в прямую общего положения.

Фронталь проецируется на П₁ в прямую параллельную оси, а на П₂ в прямую общего положения.

Линия ската- линия перпендикулярная горизонтали.

20. Решение любой задачи с применением преобразования чертежа в конечном итоге сводится к решению 4 задач или их комбинации. Эти задачи называют основными задачами преобразования чертежа.

1ОЗПЧ заключается в таком преобразовании КЧ , в результате которого прямая общего положения стала бы прямой уровня.

2ОЗПЧзаключается в таком преобразовании КЧ , при котором прямая уровня становится проецирующей прямой..

3ОЗПЧзаключается в таком преобразовании КЧ , при котором плоскость общего положения становится проецирующей..

4ОЗПЧзаключается в таком преобразовании КЧ , при котором проецирующая плоскость становится плоскостью уровня.

1. Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка перпендикуляра , опущенного из точки на эту плоскость.

Алгоритм: 1. nÉМ, n^∑

2. К=n∩∑

3. | M,K |

29. ГМТ удаленных от одной точки- сфера с центром в данной точке и радиусом равным указанному расстоянию.

ГМТ удаленных от прямой- цилиндрическая поверхность вращения осью которой яв-ся данная прямая , а радиусом- указанное расстояние.

ГМТ удаленных от плоскости- плоскость параллельная данной плоскости и удаленная от нее на указанное расстояние.

1. ГМТ равноудаленных от сторон треугольника- это прямя проходящая через центр вписанной окружности .

ГМТ Равноудаленных от вершин треугольника- прямая проходящая через центр окружности описанной около треугольника.

34. Угол между прямой а и плоскостью ∑ измеряется линейчатым углом φ между прямой а и ее проекцией а_∑ на плоскость ∑.

1. Угол между плоскостями ∑ и Г измеряется углом φ между прямыми q=∑∩Ω и g=Г∩Ω , где Ω плоскость ^∑ и Г.

39. Прямую, параллельную П₁, называют горизонтальной прямой и обозначают h; прямую, параллельную П₂, называют фронтальной прямой и обозначают f.

40. Кинематический способ образования поверхности – это движение в пространстве линии , перемещающейся по какому-либо закону.

Линия, перемещающаяся в пространстве и образующая при этом поверхность , называется образующей поверхности, а законом ее перемещения – законом образования поверхности.

Направляющая линия – линия , которую пересекают все образующие.

Совокупность ГО, задание которых позволяет реализовать закон образования поверхности , называется определителем поверхности.

41. Проанализируем структуру формулы на примере формулы Ф{l (k,T)(lⁱ∩k; lⁱÉT)} конической поверхности общего вида. Перед формулой пишется прописная буква греческого алфавита (Ф) обозначающая поверхность; после первой фигурной скобки строчной буквой латинского алфавита записывают образующую поверхности (l); в первой паре скобок перечисляются элементы определителя поверхности (k и T); во второй паре скобок приводится закон образования поверхности ( lⁱ∩k ; lⁱÉT).

42. Критерий заданности поверхности: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно ответить на вопрос о принадлежности точки поверхности и имеется возможность построить любую точку поверхности.

ОПЗ – задача на принадлежность точки поверхности .

Условие принадлежности точки поверхности: чтобы задать точку на поверхности, следует сначала задать на поверхности линию , а затем на линии взять любую точку.

43. Элементарный чертеж поверхности – это самый простейший чертежповерхности , на котором может быть решена любая позиционная и метическая задача , с ней связанная.

Основным чертежом поверхности называют элементарный чертеж поверхности , дополненный изображениями контурных линий.

44. К контурным линиям поверхности относят линии видимости данной поверхности; линии обреза поверхности; ребра многогранных поверхностей ; линии пересечения поверхностей и т.д.

Крайние контурные лини – контурные линии или их части , все точки которых обладают следующим свойством : проецирующая прямая, проведенная через точку линии, не имеет больше общих точек с поверхностью на всем своем протяжении (искл. – конкурирующие контурные линии , принадлежащие проецирующей поверхности).

Проекцию крайних контурных линий называют очерком поверхности.

45. Линейчатые поверхности строятся с помощью образующих прямых.

46. Ф{l (a , T)(lⁱ∩a , lⁱÉT)}.

Если а – кривая линия , то это формула собственно конической поверхности; если а – ломаная линия , то это формула пирамидальной поверхности.

47. Ф{ l (a , l)(lⁱ∩a , lⁱ║l)}

Если а – кривая линия , не лежащая в одной плоскости с l , то это формула цилиндричекой поверхности; если а – ломаная линия , не лежащая в одной плоскости с l , или прямая линия , то это формула призматической поверхности или плоскости соответственно.

48. Линейчатыми поверхностями с плоскостью параллелизма называют поверхности, у которых образующие пересекают две направляющие линии и , при этом, остаются параллельными некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Ф{l(a,b,∑)(lⁱ∩a, lⁱ∩b, lⁱ ║∑)}

Если а и b – скрещивающиеся прямые , то поверхности называют гмпербалическим параболоидом или косой плоскостью ; если одна из направляющих а и b - прямая линия , а вторая - кривая , то поверхность называют коноидом; если обе направляющие а и b – кривые линии, то поверхность называют цилиндроидом.

51. Формула линейчатой поверхности с тремя направляющими:

Ф{ l(a,b,d)(lⁱ∩a , lⁱ∩b , lⁱ∩d)}.

52. Винтовой называют поверхность, образованную таким перемещением образующей , когда хотя бы одна точка ее совершает винтовое движение.

Формула геликоида:

Ф{t(j,k,φ)(tⁱ∩k, tⁱ∩j; | tⁱ ^ j |= φ)}

Если угол φ наклона образующей к оси равен 90 , то геликоид называют прямым, а если φ≠90, то наклонным.

53. Циклическими поверхностями называют поверхности, которые могут быть образованы перемещением окружности переменного или постоянного радиуса.

Циклические поверхности с тремя направляющими и плоскостью параллелизма:

Ф{m(b,d,q,∑)(mⁱ∩ b , mⁱ∩d , mⁱ∩q , mⁱÉ∑ⁱ║∑)}

Каналовые поверхности:

Ф{m(b,d)(mⁱ∩b, mⁱÉ∑ⁱ ^ d, C^mi É d)}

54. Все поверхности вращения имеют единый закон образования , согласно которому поверхность вращения есть результат вращения образующей линии вокруг неподвижной оси . Поэтому для всех поверхностей вращения может быть записана общая формула:

Ф{b(b,j)(bⁱ = bOj)}.

При вращение линии вокруг оси каждая ее точка вращается вокруг оси по окружностям называемым параллелями.

Параллель наименьшего радиуса называется горлом, а наибольшего – экватором.

Линии поверхности лежащие в плоскости проходящей через ось вращения называются меридианами.

55. Формула линейчатых поверхностей вращения имеет вид:

Ф{t(t,j)(tⁱ = tOj)}, где t – прямая линия. Если t∩j , то это формула конической поверхности вращения , если t║j – цилиндрической поверхности вращения , если t скрещивается с j – однополостного гиперболоида вращения.

56. Торовые поверхности относятся к циклическим поверхностям , которые образуются путем вращения окружности или ее дуги.

1. Открытый тор Ф{m(m,j; m,jÌ∑)(mⁱ = m O j)}- окружность m и j ось не имеют общей точки.

2. Закрытый тор с одной конической точкой Ф{m(m,j;m,jÌ∑; m È j)(mⁱ = mOj)}- окружность m касается с осью j.

3. Пересекающийся тор с двумя коническими точками Ф{m(m,j;m,jÌ∑; m∩j)(mⁱ = m O j)}- окружность m пересекается с осью j .

57. Сфера образуется вращением полуокружности вокруг оси.

Формула: Ω{n(n,j; n∩j)(nⁱ=nOj)}

61. Поверхность считается проецирующей , если она проецируется в линию. Это могут быть цилиндрические поверхности, цилиндрические поверхности вращения и призматические поверхности.

Проецирующая поверхность проецируется на ПП, которой перпендикулярны ее образующие, в линию , называемую основной проекцией этой поверхности.

62. Из множества позиционных задач выделяют две главные : 1ГПЗ – задача на пересечение линии и поверхности ; 2ГПЗ – задача на пересечение двух поверхностей.

63. 1ГПЗ-1 и 2ГПЗ-1 решают по алгоритму: обе проекции точки пересечения (1ГПЗ) или линии пересечения (2ГПЗ) непосредственно заданы на чертеже; они принадлежат основным проекциям пересекающихся ГО ; решение задачи сводится к простановке соответствующих обозначений.

64. Согласно алгоритму решения ГПЗ для 2-го случая известной яв-ся только одна проекция точки или линии пересечения, принадлежащая основной проекции проецирующего ГО , а вторая проекция точки или линии пересечения ищется из условия принадлежности их непроецирующему ГО.

65. ПА решения 1ГПЗ в случае , когда пересекаются непроецирующая линия q и поверхность Ф:

1. Линия q заключается во вспомогательную поверхность Y: YÉq

2. Строится линия g пересечения вспомогательной поверхности Y и заданной Ф : g = Y∩Ф.

3. Искомая точка К есть точка пересечения построенной линии g и заданной q: K = g∩q.

1. ПА построения линии k пересечения двух непроецирующих поверхностей:

1. Задается вспомогательная секущая поверхность Yⁱ .

2. Строятся линии пересечения gⁱ = Yⁱ∩Ф и еⁱ = Yⁱ∩Ω.

3. Находятся точка КⁱÌ k: Kⁱ = gⁱ∩eⁱ.

71. Теорема Монжа: порядок поверхности определяется максимально возможным числом точек пересечения поверхности прямой линией.

79. Поверхности вращения , имеющие общую ось вращения , называются соосными поверхностями.

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям- параллелям.

72. Частным случаем пересечения соосных поверхностей вращения яв-ся случай , когда центр сферы расположен на оси какой-то поверхности вращения, в результате чего сфера становится сосной с этой поверхностью вращения и пересекает ее по окружностям . Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения лежит в основе способа секущих концентрическмх сфер.(сфер, имеющих общий центр)

1. Линия пересечения двух циклических поверхностей , имеющих общую плоскость симметрии , в которой расположены линии их центров, может быть построена способом эксцентрических секущих сфер(Сфер, проведенных из различных центров).

1. При пересечении конической поверхности 2-го порядка плоскостью получится эллипс.