Глава 16. Полярное уравнение прямой 4 страница

Глава 20. Парабола

		Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
	583.1	парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3;
	583.2	парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5.
	583.3	парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4.
	583.4	парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.
		Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:
	584.1	;
	584.2	;
	584.3	;
	584.4	.
		Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
	585.1	парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6);
	585.2	парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(-1; 3);
	585.3	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1);
	585.4	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4; -8).
		Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 см. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.
		Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.
		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
	588.1	;
	588.2	;
	588.3	;
	588.4	;
	588.5	;
	588.6	;
	588.7	;
	588.8	.
		Найти фокус F и уравнение директрисы параболы .
		Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если абсцисса точки М равна 7.
		Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если ордината точки М равна 6.
		На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13.
		Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы .
		Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:
	594.1	в положительном направлении оси Ох;
	594.2	в отрицательном направлении оси Ох.
		Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:
	595.1	в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола является восходящей);
	595.2	в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола являетя нисходящей).
		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:
	596.1	;
	596.2	;
	596.3	;
	596.4	.
		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
	597.1	;
	597.2	;
	597.3	.
		Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А и величину параметра р:
	598.1	;
	598.2	;
	598.3	.
		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
	599.1	;
	599.2	;
	599.3	;
	599.4	.
		Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
		Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса .
		Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса .
		Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы . Найти фокус F этой параболы.
		Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы . Составить уравнение этой параболы.
		Определить точки пересечения прямой и параболы .
		Определить точки пересечения прямой и параболы .
		Определить точки пересечения прямой и параболы .
		В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне ее:
	608.1	, ;
	608.2	, ;
	608.3	, .
		Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
	609.1	пересекает параболу ;
	609.2	касается ее;
	609.3	проходит вне этой параболы.
		Вывести условие, при котором прямая касается параболы .
		Доказать, что к параболе можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом .

		Составить уравнение касательной к параболе в ее точке М₁(x₁; y₁).
		Составить уравнение прямой, которая касается параболы и параллельна прямой .
		Составить уравнение прямой, которая касается параболы и перпендикулярна к прямой .
		Провести касательную к параболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой.
		На параболе найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой.
		Составить уравнения касательных к параболе , проведенных из точки А(2; 9).
		К параболе проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
		Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
		Из точки Р(-3; 12) проведены касательные к параболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.
		Определить точки пересечения эллипса и параболы .
		Определить точки пересечения гиперболы и параболы .
		Определить точки пересечения парабол , .
		Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.
		Из фокуса параболы под острым углом к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
		Доказать, что две параболы, имеющую общую ось и общий фокус, расположенный между ее вершинами, пересекаются под прямым углом.
		Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.