Задача о проведении касательной к кривой.

Вопрос 56.

Метод интегрирования замена переменной с примерами.

Докажем, что если , то .

Доказательство: Имеем: . Тогда

.

Формула интегрирования заменой переменной:

После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования назад к старой переменной .

При подходящей замене переменной мы сводим заданный интеграл к табличному.

Пример 1.

Пример 2.

.

Вопрос 57.

Метод интегрирования по частям с примерами

Пусть , – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда

(или ).

Доказательство: Справедливы соотношения:

и

Сравнивая правые части, получим приведенную выше формулу.

Можно указать приоритеты выбора функции .

1) В качестве выбирается одна из функций , .

2) При отсутствии этих функций в подынтегральном выражении в качестве может быть выбрана находящаяся в числителе степенная функция с целым положительным показателем степени.

Других приоритетов при выборе этой функции нет, выбор в этом случае осуществляется перебором возможных вариантов.

Пример 1.

Пример 2.

Вопрос 36.

Свойства непрерывных в точке функций. Примеры непрерывных функций.

1).Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Действительно, из определения 1 непрерывности следует, что если и , то

.

2). Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.

3). Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.

Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.

4). Пусть функция непрерывна в точке , пусть функция непрерывна в точке . Тогда функция непрерывна в точке .

Очевидно, что

.

Так как согласно определению 3 непрерывности при и при , получим: при .

Таким образом, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Пример. Функция непрерывна во всех точках числовой оси, так как функция непрерывна на , а функция непрерывна на множестве неотрицательных чисел.

Вопрос 37.

Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть заданная кривая является графиком непрерывной функции , и требуется провести касательную к этой кривой в точке . Заметим, что касательная – это прямая, получающаяся в пределе из хорд, проходящих через точки и , когда . Уравнение хорды – прямой, проходящей через две заданные различные точки, – имеет вид: или . Делая предельный переход при , получим предельное значение углового коэффициента хорд – угловой коэффициент касательной: . На рисунке касательная представлена пунктиром. Итак, , где – угол, образованный касательной с положительным направлением оси .

Очевидно, что существуют непрерывные кривые, в некоторых точках которых провести касательную невозможно.

Вопрос 38.