Определение направляющих косинусов
Для определения направляющих косинусов воспользуемся известными из аналитической геометрии формулами связи исходных (x, y) и преобразованных (x΄, y΄) координат точек при повороте координатных осей на угол φ, отсчитываемый против часовой стрелки:
(6)
и
.
Для определения направляющих косинусов выполним преобразование координатной системы Sxyz в систему SXYZ путем трех последовательных поворотов вокруг координатных осей, каждый из которых описывается формулами (6), и найдем произведение соответствующих этим поворотам матриц. При этом будем использовать угловые элементы внешнего ориентирования a, w и c. Из трех углов, связывающих системы Sxyz и SXYZ, один (c) лежит в плоскости Sxy, другой (a) – в плоскости SXZ, а третий угол (w) - в плоскости SoY , не являющейся координатной ни в системе Sxyz, ни в системе SXYZ.
Необходимо преобразовать систему Sxyz в систему SXYZ в результате трех последовательных поворотов ее координатных осей на углы –c, –w, –a, формируя матрицу ортогонального преобразования на основе зависимостей (6).
1. Первый поворот системы Sxyz на угол –c вокруг оси Sz преобразует ее в систему Sx¢y¢z (рис. 3.8). Матрица ортогонального преобразования
(7)
2. Второй поворот системы Sx¢y¢z на угол –w вокруг оси Sx¢ преобразует ее в Sx¢Yz¢ (рис. 3.8). При этом оси Sx¢ и Sz¢ окажутся лежащими в плоскости SXZ, а матрица ортогонального преобразования будет иметь вид:
(8)
3. Третий поворот системы Sx¢Yz¢ вокруг оси SY на угол –a преобразует ее в систему SXYZ (рис. 3.8). Матрица ортогонального преобразования будет иметь вид:
(9)
Матрица преобразования, соответствующая суммарному повороту, определяется как произведение трех матриц:
Перемножить матрицу, значит составить новую, каждый элемент которой равен сумме произведений строк первой матрицы на элементы столбцов второй.
(10)
.
где направляющие косинусы вычисляют по формулам:
(11)
Для связи направляющих косинусов с угловыми элементами внешнего ориентирования первойсистемы ac, t и c¢ выполним три последовательных поворота системы SXYZ: вокруг оси SZ на угол t в положение Sx¢y¢Z; вокруг оси Sy¢ на угол ac в положение Sx¢¢y¢z; вокруг оси Sz на угол c¢ в положение Sxyz. Перемножив соответствующие матрицы ортогонального преобразования, получим значения направляющих косинусов.
(12)
Если известны направляющие косинусы, то угловые элементы внешнего ориентирования в первой и второй системах можно определить по следующим формулам:
(13)
(14)
Знак суммарного угла наклона ac второй системы условимся считать соответствующим знаку продольного угла наклона a первой системы элементов внешнего ориентирования.