Поверхности II порядка. Канонические уравнения
| Название поверхности | Каноническое уравнение | |||
| эллипсоид |  (рис.1) | |||
| гиперболоиды | однополостный гиперболоид |  (рис.2) | ||
| двуполостный гиперболоид |  (рис.4) | |||
| конус |  (рис.5) | |||
| пароболоиды | эллиптический параболоид |  (рис.3) | ||
| гиперболический параболоид |  (рис.6) | |||
| цилиндры | эллиптический цилиндр |  | ||
| гиперболический цилиндр |  | |||
| параболический цилиндр |  | |||
| пара плоскостей | левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей | |||
|
|
|
 |
Рисунок 1 Рисунок 2
|
| ||||
 | |||
 |
    |
|
 |
Рисунок 6
Варианты заданий
ЗАДАНИЕ 1
По координатам вершин треугольника АВС найти:1)длину стороны ВС;2)площадь треугольника АВС;3)уравнение ВС;4)уравнение высоты, проведенной из вершины А;5)длину высоты, проведенный из вершины А;6)расстояние от вершины А до стороны ВС;7)уравнение медианы, проведенной из вершины А до стороны ВС;8)уравнение биссектрисы внутреннего угла В; 9)угол В в радианах с точностью до 0,01.
1. А (4; 1), В (0;-2), С (-5; 10).
2. А (-7; 3), В (5;-2), С (8; 2).
3. А (5;-1), В (1;-4), С (-4; 8).
4. А (-14; 6), В (-2;1), С (1; 5).
5. А (6; 0), В (2;-3), С (-3; 9).
6. А (-9; 2), В (3;-3), С (6; 1).
7. А (7; -4), В (3:-7), С (-2;5).
8. А (-8; 4), В (4;-1), С (7; 3).
9. А (3; -3), В (-1;-6), С (-6; 6).
10. А (-6; 5), В (6;0), С (9; 4).
11. А (-6;-4), В (-10;-1), С (6; 1).
12. А (12; 0), В (18;8), С (0; 5).
13. А (-6;-2), В (-6;-3), С (10;-1).
14. А (8; 2), В (14;10), С (-4; 7).
15. А (2;-4), В (-2;-1), С (14; 1).
16. А (2;-1) В (8;7), С (-10; 4).
17. А (5;-3), В (1;10), С (17;2).
18. А (14;-6), В (20;2), С (2;-1).
19. А (3; 4), В (-1;7), С (15; 9).
20. А (1;-2), В (7;6), С (-11; 3).
21. А (-1; 1), В (7;5), С (4; 11).
22. А (-2; 1), В (6;7), С (3; 13).
23. А (2;-1), В (10;5), С (7; 11).
24. А (1; 1), В (9;7), С (6; 13).
25. А (-1; 2), В (7;8), С (4; 14).
ЗАДАНИЕ 2
1 Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон Х+Y-1=0 и Y+1=0 , если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке (-1;0).
2Найти координаты точки симметрично точке (2;-4) относительно прямой 4Х+ЗY+1=0.
3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-1:2) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y+1=0 и Х+2Y-3=0, лежит на прямой Х-Y- 6=0.
4 Даны уравнения двух сторон треугольника 4Х-5Y+9=0 и Х+4Y-3=0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке (3;1).
5 Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2Х-Y+4=0 и 2Х-Y+10=0, и уравнение одной из его диагоналей Х+Y+2=0.
6 Даны две вершины треугольника А (-4; 5) и В (4; 1) и точка пересечения его высот Д (3; 5). Составить уравнения сторон треугольника.
7 Даны уравнения высот треугольника АВС: ЗХ+2Y+6=0 и Х-Y+5=0 и координаты одной из вершин А (-5; 3). Найти уравнения сторон
треугольника.
8 Даны уравнения двух сторон треугольника: 5Х-2Y-8=0 и ЗХ-2Y-8=0. Составить уравнения третьей стороны треугольника, если известно, что ее середина совпадает с началом координат.
9Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин А(2;-3), и уравнения двух высот 7Х-2Y-10=0 и 2Х-7Y+3=0.
10 Даны уравнения основания равнобедренного треугольника Х+Y-4=0 и боковой стороны Х-2Y+4=0. Точка А (-2; 3) лежит на второй боковой стороне. Найти уравнение второй боковой стороны.
11 Даны две противоположные вершины ромба А (3; 4) и С (1;-2) и уравнение одной из его сторон Х-Y+1=0. Найти уравнения остальных
сторон ромба.
12 Даны середины сторон треугольника М (2; 1), N (5; 3), Р (3;-4). Составить уравнения сторон треугольника.
13 Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин (1; 3) и уравнения двух медиан: Х-2Y +1=0 и Y-1=0.
14 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 3) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y +5=0 и Х+2Y+1=0, лежит на прямой Х-Y-5=0.
15 Составить уравнение сторон треугольника, зная одну изего вершин А (0;2), и уравнения высот ВМ: Х+Y=4 и СМ: Y=2Х. М-точка пересечения его высот.
16 Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСД заданы уравнениями 2Х-Y+5=0 и X-2Y+4=0, диагонали его пересекаются в точке М (1; 4). Найти длины его высот.
17 Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла С (3;-1) и уравнение гипотенузы 3Х-Y+2=0.
18 Две стороны параллелограмма заданы уравнением Y=Х-2 и 5Y=Х+6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.
19 Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин А (0; 1), точку
пересечения его диагоналей М (4; 4) и точку Р (2; 0) на стороне АВ.
20 Через точку пересечения прямых 2Х-5Y-1=0 и Х+4Y-7=0 провести
прямую, делящую отрезок между точками А (4;-3) и В (-1; 2) в отношении 2:3.
21 Определить, при каких значениях m и n прямая (2m-n+5)Х+7n+19=0 параллельна оси ОY, прямая и отсекает на оси ОХ отрезок, равный 5(считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
22 Определить, при каком значении а прямая (а+2)х+(а2-9)у+3а2 -8а+5=0:
1)параллельна оси абсцисс;
2)параллельна оси ординат;
3)проходит через начало координат.
В каждом случае написать уравнение прямой.
23 Две стороны квадрата лежат на прямых 5Х-12Y-65=0 и 5Х-12Y+26=0. Вычислить его площадь.
24 Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В (-1; 4). Составить уравнения его сторон и вычислить его площадь.
25 Точка А (5;-1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4Х-3Y-7=0. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
ЗАДАНИЕ 3
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.
1. а) 2х2-8х+у2-6у=0 б) х2 +10х-4у+33=0
2. а) х2 +4х-у2=0 б) у2 -6х+2у-11=0
3. а) х2-8х-у2=0 б) х2 -4х+5у+14=0
4. а) у2-6у-х2+2х=0 б) у2 +х-4у+2=0
5. а) 6х2 -25у2 -18х-100у-316=0 б) х2 -8х-3у+19=0
6. а) 5х2 -6у2+10х-12у-31=0 б) у2 -5х+6у+4=0
7. а) х2 -4у2+6х+5=0 б) х2 +6у+6х-6=0
8. а) 3х2-у2 +12х-4у-4=0 б) у2 +6х-8у+22=0
9. а) х2 -4у2+2х-16у-7=0 б) х2 +8х-2у+14=0
10. а) х2 -4у2-4х+6у-5=0 б) у2 -3х+10у+16=0
11. а) 4х2-9у2 -8х+18у-23=0 б) 2х2 -4х-у+3=0
12. а) 9х2 -16у2-54х-64у-127=0 б) х-2у2 +4у-3=0
13. а) х2 +у2-2х+6у-5=0 б) х2 -2х-у+2=0
14. а) х2 +4у2+4х-8у-8=0 б) х-у2 +2у-2=0
15. а) х2 +2у2+8х-4=0 б) х2 -2х+у+7=0
16. а) 4х2 +9у2-40х+36у+100=0 б) х+у2 -2у+3=0
17. а) 9х2 -16у2-54х-64у-127=0 б) 2х2 +8х+у+7=0
18. а) 9х2 +4у2+18х-8у+49=0 б) х+2у2 -4у+4=0
19. а) 4х2 -у2+8х-2у+3=0 б) х2 +4х+у+3=0
20. а) 2х2 +3у2+8х-6у+11=0 б) х+2у2 +4у+1=0
21. а) 3х2 +3у2-6х+12у-5=0 б) х2 +10х-4у+33=0
22. а) 3у2 -х2+2х=2 б) у2 -6х+2у-11=0
23. а) у2 +4х2-2у=0 б) х2 -4х+5у-6=0
24. а) 2х2 +у2-6х=0 б) у2 +3х+4у=0
25. а) 2х2 -8х+у2+10у=3 б) х2 -8х-3у+19=0
ЗАДАНИЕ 4
Построить график функции:
1.  | 14.  |
2.  | 15.  |
3.  | 16.  |
4.  | 17.  |
5.  | 18.  |
6.  | 19.  |
7.  | 20.  . |
8.  | 21.  |
9.  | 22.  |
10.  | 23.  . |
11.  | 24.  . |
12.  | 25.  (ρ > 0). |
13.  |
ЗАДАНИЕ 5
По координатам вершин пирамиды а1 а2 а3 а4 найти:
1) длины ребер а1 а2 и а1 а3 ;
2) угол между ребрами а1 а2 и а1 аз ;
3) площадь грани а1 а2 а3 ;
4) объем пирамиды а1 а2 а3 а4 ;
5) уравнения прямых а1 а2 и а1 а3 ;
6) уравнения плоской а1 а2 а3 и а1 а2 а4 ;
7) угол между плоскостями а1 а2 а3 и а1 а2 а4 ;
8) угол между ребром а1 а3 и гранью а1 а2 а4 ;
9) уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3 ;
10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1 а2 а3 , и вершину а1 пирамиды ;
11) расстояние от вершины. а3 до плоскости а1 а2 а4.
| а1 | а2 | а3 | а4 | |
| (3;1;4) | (-1;6;1) | (-1;1;6) | (0;4;-1) | |
| (3;3;9) | (6;9;1) | (1;7;3) | (8;5;8) | |
| (3;5;4) | (5;8;3) | (1;9;9) | (6;4;8) | |
| (2;4;3) | (7;6;3) | (4;9;3) | (3;6;7) | |
| (9;5;5) | (-3;7;1) | (5;7;8) | (6;9;2) | |
| (0;7;1) | (4;1;5) | (4;6;3) | (3;9;8) | |
| (5;5;4) | (3;8;4) | (3;5;10) | (5;8;2) | |
| (6;1;1) | (4;6;6) | (4;2;0) | (1;2;6) | |
| (7;5;3) | (9;4;4) | (4;5;7) | (7;9;6) | |
| (6;6;2) | (5;4;7) | (2;4;7) | (7;3;0) | |
| (0;3;2) | (-1;3;6) | (-2;4;2) | (0;5;4) | |
| (-1;2;0) | (-2;2;4) | (-3;3;0) | (-1;4;2) | |
| (2;2;3) | (1;2;7) | (0;3;3) | (2;4;5) | |
| (0;-1;2) | (-1;-1;6) | (-2;0;2) | (0;1;4) | |
| (3;0;2) | (2;0;6) | (1;1;2) | (3;2;4) | |
| (0;2;-1) | (-1;2;3) | (-2;3;-1) | (0;4;1) | |
| (2;3;2) | (1;3;6) | (0;4;2) | (2;5;4) | |
| (-1;0;2) | (-2;0;6) | (-3;1;2) | (-1;2;4) | |
| (2;0;3) | (1;0;7) | (0;1;3) | (2;2;5) | |
| (2;-1;2) | (1;-1;6) | (0;0;2) | (2;1;4) | |
| (2;0;8) | (-10;3;0) | (-3;5;1) | (-1;-7;9) | |
| (1;4;0) | (-5;1;-2) | (-3;1;-3) | (2;-7;9) | |
| (3;7;9) | (-3;0;7) | (2;-3;-5) | (1;-2;0) | |
| (-1;3;5} | (5;-1;-3) | (-2;9;-2) | (8;0;1) | |
| (5;1;-7) | (2;-3;-1) | (-7;-1;1) | (3;4;-5) |
ЗАДАНИЕ 6
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:
| M | a | b | |
| (2;1;-5) | 3X-2Y+Z+7=0 | 5X-4Y+3Z+1=0 | |
| (1;-1;1) | X-Y+Z-1=0 | 2X+Y+Z+1=0 | |
| (2;-1;1) | 3X+2Y-Z+4=0 | X+Y+Z-3=0 | |
| (1;8;2) | 5X+6Y+11Z-3=0 | 3X+Y+4Z-12=0 | |
| (-1;-2;0) | 4X+6Y-5Z-14=0 | X+3Y-2Z-1 =0 | |
| (5;1;2) | X-7Y-2Z-10=0 | 2X-2Y-Z-13=0 | |
| (2;4;1) | X-2Y+5Z-7=0 | 2X-3Y+7Z-5=0 | |
| (1;1;1) | X-2Y+2Z+8=0 | 3X+5Y+7Z-1=0 | |
| (1;4;5) | X+Y+5Z+3=0 | 3X+2Y+8Z-9=0 | |
| (3;0;7) | X+Y+4Z=0 | 3X+2Y+7Z-2=0 |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 перпендикулярно плоскости a :
| М1 | М2 | a | |
| (2;-1;4) | (3;2;1) | X+Y+Z-3=0 | |
| (1;1;1) | (2;2;2) | X-Y-Z=0 | |
| (0;-5;0) | (0;0;2) | X+5Y+2Z-10=0 | |
| (2;0;-1) | (1;-1;3) | 3X+2Y-Z+3=0 | |
| (-1;-2;0) | (1;1;2) | X+2Y+2Z-4=0 | |
| (1;-2;4) | (2;-3;5) | X+Y-3Z+8=0 | |
| (0;1;3) | (1;2;7) | X+2Y+5Z+6=0 | |
| (1;1;0) | (2;-1;-1) | 5X+2Y+3Z-7=0 | |
| (1;4;0) | (2;14;3) | X+6Y+Z-3=0 | |
| (9;1;1) | (19;2;2) | 17X+2Y+Z+11=0 | |
| (7;1;0) | (26;2;3) | 9X+Y+Z-17=0 | |
| (0;1;2) | (-1;2;3) | X+Y-Z+2=0 | |
| (3;4;6) | (5;1;5) | X+2Y+3Z-6=0 | |
| (4;1;0) | (2;-1;1) | X-Y+Z-3=0 | |
| (1;0;1) | (-1;1;0) | X+2Y-Z-1=0 |
ЗАДАНИЕ 7
Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:
| a | b | |
| x-2у+2z-8=0 | x+2z-6=0 | |
| 3x-5y+z-8=0 | 2x+y-z+2=0 | |
| x-2y+3z-4=0 | 3x+2y-5z-4=0 | |
| x+z-6=0 | x+6y-4=0 | |
| x+2y-4=0 | x-2y+2z-8=0 | |
| x+2Z-6=0 | x+y+z-6=0 | |
| x+2y+3z-13=0 | 3x+y+4z-14=0 | |
| x+2y+3z-1=0 | 2x-3y+2z-9=0 | |
| 2x+7y-z-8=0 | Х+2y+z-4=0 |
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:
| А | ℓ | |
| (3;1;-1) | X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0 | |
| (2;0;-3) |  | |
| (-4;3;0) | x-2y+z-4=0 2x+y-z=0 | |
| (2;-5;9) | 2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0 |
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ1 и ℓ2:
| А | ℓ1 | ℓ2 | |
| (2;-3;4) |  |  | |
| (0;1;1) |  |  | |
| (2;-3;4) | x=t;y=t;z=2t+5 | x=3t+8;y=2t-4;z=t+2 | |
| (0;1;-1) | x=3t+1;y=15t;z=7t-2 | x=t;y=2t-5;z=6 | |
| (0;-1;1) | x=2t;y=t-5;z=3t-2 | x=4t-1;y=4t+6;z=t-4 |
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а1 и а2 :
| а1 | а2 | |
| (1;-2;1) | (3;1;1) | |
| (1;-2;1) | (0;6;5) | |
| (3;1;2) | (0;2;5) | |
| (0;1;2) | (5;2;1) | |
| (1;7;3) | (0;2;1) | |
| (1;0;2) | (5;1;4) | |
| (3;5;1) | (2;3;1) |
ЗАДАНИЕ 8
Найти проекцию точки А на плоскости a:
| А | a | |
| (1;3;1) | x+2y+2z-30=0 | |
| (3;1;-1) | 3x+y+z-20=0 | |
| (5;2;-1) | 2x-y+3z+23=0 | |
| (4;-3;1) | x-2y-z-15=0 | |
| (1;-1;0) | 5x-6y+2z-76=0 |
Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:
| А | а | |
| (0;0;0;) | х-2у+4z-21=0 | |
| (1;5;2) | 2х-у-z+11=0 | |
| (1;-3;-4) | Зх-у-2z=0 | |
| (5;2;-1) | 2х-у+3z+23=0 | |
| (3;-4;-6) | 9х-7у-31z-108=0 |
Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ :
| А | ℓ | |
| (2;1;0) |  | |
| (4;3;10) |  | |
| (1;-1;2) |  | |
| (3;2;0) |  | |
| (2;-1;5) |  | |
| (0;0;0;) |  |
Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости а с прямыми ℓ1 и ℓ2:
| А | ℓ1 | ℓ2 | |
| 2x+y-3z=0 |  |  | |
| 3x-2y+z=0 |  |  | |
| 6x+3y-41=0 |  |  | |
| 3x-y-2z+5=0 |  |  | |
| 2x+3y+z-1=0 |  |  |
Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости a и проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой ℓ, перпендикулярно вектору `а :
| a | ℓ | _` а | |
| 6x+3y-z-41=0 |  | {1;2;1} | |
| x+2y=0 |  | {3;-1;2} | |
| x+2y=0 |  | {5;-1;2} | |
| 3x-y-2z+5=0 |  | {0;3;5} |
ЗАДАНИЕ 9
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ1 и ℓ2:
| ℓ1 | ℓ2 | |
 |  | |
 |  | |
| x=2t+1;y=-t;z=t+1 |  | |
 |  | |
 |  |
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ1, параллельно прямой ℓ2 :
| ℓ1 | ℓ2 | |
 |  | |
 |  | |
 |  | |
 |  | |
| x=3t-1;y=-2t-3;z=-t+2 | x=2t+2;y=3t-1;z=-5t+1 |
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямым ℓ1 и ℓ2:
| ℓ1 | ℓ2 | М | |
 |  | (-2;0;0) | |
 |  | (6;1;1) | |
 |  | (1;2;1) | |
 |  | (1;2;3) | |
 |  | (0;0;2) |
Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ1 и ℓ2:
| ℓ1 | ℓ2 | |
 |  | |
| x=z-2;y=2z+1 |  | |
 | x=t+5;y=-4t-1;z=t-4 | |
| x=t+1;y=-2;z=-t+1 | x=2t;y=2t-2;z=-3t+2 | |
 | x=3t+7;y=2t+2;z=-2t+1 | |
 |  | |
| x=2t-3;y=3t-2;z=-4t+6 | x=t+5;y=-4t-1;z=t-4 | |
 |  | |
| x=2t+1;y=3t-2;z=-6t+1 |  | |
 |  |
ЗАДАНИЕ 10
Установить вид поверхности и построить её эскиз:
| а) | б) | |
| x2 + y2 =z2 | y=6 z2 | |
 | x= 2z2 | |
| z= x2 + y2 |  | |
 |  | |
| x2 +y2+z2-6x+8y+10z+25=0 | z=1- x2 - y2 | |
 | z+(x2 + y2)=0 | |
 | 4x2 -12y2-6z=12 | |
| 2x2 -5y2-8=0 | 4x2 -8y2+16z2=0 | |
| 3x2 +5y2 =12z |  | |
| x2 + 4y2 -8=0 |  | |
| z2 -4x=0 | 2x2 -y2-z2=0 | |
| 8x- y2-2z2 =0 | y2 =6x-4 | |
| 4z= x2 -y2 | x2 +y2 = 2(z-1)2 | |
| 8x2 -4y2+24z2-48=0 | x2 + y2=2z | |
| 2y2+z2=1-x | 2x2 +3z2=12y | |
| 3x2 -y2-z2=3 |  | |
| z2 +4z-2x+6=0 | 3x2 -y2-z2=3 | |
 | 2x2 -4y2+8z2=0 | |
| x=9y2 | x2 -2y2+z2=1 | |
| z2 +2z-4x+1=0 | 2x2 +8y2-16=0 | |
 |  | |
| 2x2 +z2=1-y | y2=-6z | |
 | x2 -2z2+4y2=0 | |
 | x2+2y2=4z | |
| 4x2-y2-2z2=0 |  |
в)x2+y2+z2+2а1x+2b1y+2с1z+g1=0
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |
Список литературы
1 Бортаковский А. С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: учеб.пособие для втузов/А.С.Бортаковский, В.Пантелеев. -М :Высш.шк.,2005.-496с.
2 Бортаковский А. С. Линейная алгебра в примерах и задачах: учеб пособие для втузов/А.С.Бортаковский, А.В.Пантелеев.-М.:Высш.шк., 2005.-591с.
3 Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.-М.:Астрель, ACT,2002.-992с.
4 Высшая математика для экономистов: учеб.для вузов/под ред.Н. Ш. Кремера.-2-е изд.,перераб.и доп.-М.:ЮНИТИ,2002.-471с.
5 Канатников А.Н. Аналитическая геометрия: учеб.для втузов/А.Н. Канатников, А.П.Крищенко; под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко.-4-е изд.,испр.-М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,2005.-392с.
6 Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике Изд.-М.:Айрис-пресс, 2004. Ч.1.-288с.
7 Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник.-32-е изд.-СПб :Лань,2003.-304с.
Содержание
1 Прямая на плоскости 1
2 Плоскость 5
3 Прямая в пространстве 6
4 Кривые второго порядка 9
5 Построение кривой в полярной системе координат 9
6 Поверхности II порядка. Канонические уравнения 12
7 Варианты заданий 14
Список литературы 30
Рекомендовано к использованию в учебном процессе решением заседания УМК от 20.06.07 протокол №47
Редактор Л.А.Матвеева
Подписано в печать 28,09,07 Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.
Гарнитура “Таймс”. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 2,1. Уч.-изд.л. 1,8 .
Тираж 100 экз. Заказ №
Издательство Уфимского государственного нефтяного технического университета
Адрес издательства:
450062, РБ, г.Уфа, ул.Космонавтов, 1.