Бесконечно малые величины и их сравнение
Модуль IV
Введение в анализ
Блок №1
Предел числовой последовательности
Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число . Последовательность обозначают символом ( ). Можно сказать, что последовательность является функцией ( ). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. Далее мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.
Число называется пределом последовательности , если для любого найдётся номер такой, что для любого выполняется неравенство . При этом пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу .
Если , , то: 1) ; 2) ;
3) ; 4) при ( ).
Последовательность называется бесконечно малой, если .
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся номер такой, что для любого справедливо неравенство ; записывается это так: . Если при этом , начиная с некоторого номера, сохраняет положительный (отрицательный) знак, то пишут ( ) .
Важную роль играет последовательность Можно показать, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е: е 2,718.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
1.Определить номер такой, что при всех , если , , .
Решение. Для попробуем найти такое натуральное число , чтобы для всякого натурального выполнялось неравенство . Решим это неравенство и получим . Следовательно, , т.е. при неравенство выполняется при , начиная с . Геометрически это означает, что все члены последовательности, начиная с , содержатся в интервале .
Ответ. .
2.Вычислить пределы:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ;
Решение. Неопределенность во многих пределах раскрывается делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной.
.
5) ;
Решение. Неопределенность можно раскрыть, умножая и деля выражения на сопряженные к ним.
6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ; 13) .
Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 0; 5) ; 6) 0; 7) ; 8) 1;
9) ; 10) 0; 11) –1; 12) ; 13) 1.
Задания для самостоятельного решения
1.Вычислить пределы:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) .
Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 2; 6) ; 7) 0; 8) 0; 9) 3.
Блок №2
Элементарные функции
К элементарным функциям относятся: 1) простейшие элементарные функции: постоянная С, степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические и , обратные тригонометрические ; 2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).
Предел функции
Пусть функция определена во всех точках интервала , за исключением, быть может, точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого существует число такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство , при этом пишут . Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции в точке , если для любой последовательности чисел , сходящейся к , .
Если определена в интервале , то число A называется пределом при , если для любого существует число , такое, что неравенство влечет за собой неравенство . При этом пишут или . Аналогично определяется .
Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или ( , или ), если для любого найдется такое, что для всех (для всех ) справедливо неравенство . Число A является пределом в точке , если совпадают пределы в этой точке слева и справа: .
Если функция определена в интервале (в интервале ) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство , то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен , и при этом пишут или ( или ). Аналогично определяются и .
Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если , , то:
1) ; 2)
3) 4)
(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.
Бесконечно малые величины и их сравнение
Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если . Пусть , – б.м.в. при и ; тогда:
а) если , то говорят, что и являются б.м.в. одного порядка;
при С = 1 и называются эквивалентными б.м.в. и при этом пишут ~ ;
б) если С = 0, то называется б.м.в. более высокого порядка чем , и пишут .
При справедливы следующие соотношения, вытекающие из первого и второго замечательных пределов и непрерывности элементарных функций:
, , ;
, .
Эти соотношения используют для раскрытия неопределённостей.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
1.Пользуясь определением предела функции, доказать, что , и найти , если , , , .
Решение. Неравенство равносильно неравенству . Тогда , откуда получим . Выберем , следовательно . Из неравенства будет следовать неравенство .
Ответ. .
2.Найти предел функции:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ;
Решение. Подставляя в числитель и знаменатель, имеем неопределенность .
Разложим числитель и знаменатель на множители, получим
8) ;
9) , если а) , б) , в) , г) ;
10) ;
Решение. Подставляя в числитель и знаменатель, имеем неопределенность . Раскроем эту неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженное выражение к иррациональному.
11) ;
12) ;
Решение. Раскроем неопределенность переводом иррациональности из
знаменателя в числитель и наоборот.
13) ;
Решение. Раскроем неопределенность приведением к общему знаменателю.
;
14) ; 15) ; 16) ;
17) ;
Решение. Раскрытие неопределенности сведем к первому замечательному пределу.
18) ; 19) ;
20) ;
21) ;
Решение. Раскрытие неопределенности сведем ко второму замечательному
пределу.
;
22) ;
23) ; 24) ; 25) ;
26) ;
Решение.
27) ;
Решение. Учитывая, что
получим
28) .
Ответ. 1) -8; 2) ; 3) 0; 4) 5; 5) 0; 6) ; 7) 0; 8) 6;
9) а) 0; б) ; в) ; г) –1; 10) 1; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) 1; 16) 5; 17) 4; 18) 8; 19) ;
20) ; 21) ; 22) ; 23) ;
24) ; 25) 0; 26) –3; 27) ;
28) .