Каноническое уравнение прямой

Тема 10. Уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением первой степени вида

где A, B и С – числовые коэффициенты, одновременно не равные нулю.

Не путать с общим уравнением квадратичной функции, графиком которого является парабола

Пример выполнения задания

Задание 1. Указать коэффициенты А,В,С для каждого уравнения:

1)

2)

3)

4)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение вида называется уравнением с угловым коэффициентом .

Данное уравнение можно получить после преобразования общего уравнения прямой.

Пример выполнения задания

Задание 2. Уравнения из задания 1 преобразовать в уравнения с угловым коэффициентом.

Указать наклон прямой по угловому коэффициенту.

Решение:

1)

наклон прямой влево (в сторону отрицательных чисел);

2)

наклон прямой вправо (в сторону положительных чисел);

3)

поэтому прямая параллельна оси О ;

4)

, поэтому прямая перпендикулярна оси .

Угловой коэффициент может быть целым числом, десятичной, обычной или неправильной дробью. Причём, в последнем случае выделять целую часть дроби не нужно, так как уравнение в таком виде легче представить в общем виде.

Например, в уравнении , где

Умножив это уравнение на 3 получим общее уравнение прямой или

или в уравнении , где

Умножив это уравнение на 7 получим общее уравнение прямой или

3) Уравнение прямой в отрезках на осях координат Если прямая задана графически и пересекает оси и в точках с координатами и , то её уравнение имеет вид Задание 3. Прямая пересекает оси координат в точках и . Составить уравнение прямой в отрезках. Выполнить схематичный рисунок, с указанием отсекаемых отрезков на осях координат. Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом. Решение: Составляем уравнение в отрезках по формуле: Выполняем схематичный рисунок. Преобразуем уравнение, умножив его на 15: Получили уравнение с угловым коэффициентом , где .

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через две точки , такие что , то её уравнение

Пример выполнения задания

Задание 4. Записать уравнение прямой, проходящей через две точки .

Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.

Запишем уравнение в отрезках по формуле:

Преобразуем это уравнение в уравнение с угловым коэффициентом. Для этого получившуюся пропорцию запишем в строчку, перемножив числители и знаменатели крест-на крест:

Получили уравнение с угловым коэффициентом , где

Каноническое уравнение прямой

Если известны координаты точки , лежащей на прямой, и известны координаты направляющего вектора , то уравнение прямой имеет вид

Пример выполнения задания

Задание 5. Записать уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором .

Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.

Решение:

Запишем каноническое уравнение прямой по формуле, где :

Получили уравнение с угловым коэффициентом , где

Контрольное задание №10 по теме

«Уравнение прямой на плоскости»

1) Записать общее уравнение прямой, имеющей следующие коэффициенты:

а) в)

б) г)

2) Получившиеся уравнения в задании 1 преобразовать в уравнения с угловым коэффициентом.

3) Прямая пересекает оси координат в точках и . Составить уравнение прямой в отрезках.

Выполнить схематичный рисунок, с указанием отсекаемых отрезков на осях координат.

Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.

4) Записать уравнение прямой, проходящей через две точки

Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.

5) Записать уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором .

Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.