Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число k, нужно каждый элемент матрицы умножить на число k.

Сложение матриц.

Складываются только матрицы одной размерности. Суммой матриц А=( ) и В=( ) наз-ся

матрица С=( ),элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц Аи В,

т.е. при любых i и j.

Свойства:

1.А+В=В+А

2.А+(В+С)=(А+В)+С

3.А(k+l)=Ak+Al

4.(A+B)k=Ak+Bk, где А,В,С – матрицы, k,l – числа.

Умножение матриц.

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов

матрицы А равно числу строк матрицы В.В результате умножения получаем матрицу АВ, у

которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В.

AB≠BA

Транспонирование матрицы.

Если в матрице поменять строки и столбцы, получается транспонированная матрица.

5.Элементарными преобразованиями для матриц яв-ся следующие: перестановка строк,

умножение элементов строки или столбца на число, прибавление к элементам строки или

столбца элементов др. строки или столбца. После выполнения таких преобразований матрицы

наз-ся эквивалентными.

Обратная матрица.

Обратная матрица - такая матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате

единичную матрицу E. Обратную матрицу можно найти только у квадратной матрицы, тоесть у матрицы,

у которой число строк равняется числу столбцов.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля,

и вырожденной, или особенной, если D = 0.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была

невырожденной.

Доказательство: Пусть матрица А имеет обратную. Тогда справедливы следующие равенства:

А^-1×А=А×А^-1=Е

А^-1×А=А×А^-1=Е

А^-1×А=А×А^-1=1→А≠0 А^-1≠0→А невырожденная

- присоединенная матрица следующего вида - алгебраическое дополнение к

Для нахождения обратной матрицы используется следующая формула:

Матричная запись системы. Применение

Обратной матрицы к решению линейных систем.

Общий вид системы :

Матричная запись системы линейных уравнений :

AX = B, где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы.

Матрицу D называют расширенной матрицей системы,

а матрицу для которой AС = В,

- вектор-решением системы.

Метод обратной матрицы.

Пусть матрица А невырожденная, т.е.определитель матрицы ≠0 Е А^-1

AX=B

A^-1AX=A^-1B

EX=A^-1B

X=A^-1B

Декартова система координат.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.

Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° еe положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами