Примеры расчета характеристик надежности авиационной техники

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ

САМАРА 2001

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ

М е т о д и ч е с к и е у к а з а н и я

САМАРА 2001

УДК 629.7.017.1 – 192

Примеры расчета характеристик надежности авиационной техники: Методические указания / Самарский государственный аэрокосмический университет. Самара, 2001 г. 40 с.

Составители: Кочуров Валерий Алексеевич

Новиков Герман Арсеньевич

Даны примеры расчета характеристик надежности изделий авиационной техники для различных планов наблюдений и справочные материалы, необходимые для расчетов.

Указания предназначены для студентов, обучающихся по специальности 13.03, и могут быть полезны студентам обучающихся по другим специальностям, изучающим проблемы надежности технических устройств. Выполнены на кафедре эксплуатации летательных аппаратов и двигателей.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета

имени академика С.П. Королева.

Рецензент: Суслин А.В.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ……………………………………………...4

2. МЕТОДИКА И ПОРЯДОК РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ ………………………………….………………………….4

3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА…………………………………………………….9

4. ОЦЕНКА УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ …………………………………..23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………..25

ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………..26

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является оценка уровня надежности элементов, узлов и агрегатов изделий авиационной техники (АТ). В процессе выполнения работы необходимо освоить методику обработки статистических данных об отказах и неисправностях АТ в эксплуатации с целью определение закона распределения времени наработки изделий до отказа и получения количественных показателей характеристик надежности.

2. МЕТОДИКА И ПОРЯДОК РАСЧЕТА

Исходными данными для решения настоящей задачи являются упорядоченные по возрастанию (вариационный ряд) значения наработки до отказа выборки изделий (t_i), размер выборки (N), количество отказов в выборке (n) и вид плана наблюдений.

Порядок расчета следующий:

1. Группировка данных.

2. Расчет эмпирических характеристик надежности.

3. Выбор теоретического закона распределения.

4. Определение неизвестных параметров закона распределения.

5. Проверка правильности принятой гипотезы о законе распределения.

6. Определение точности оценок параметров распределения.

7. Оценка надежности объекта.

Группировка данных. Интервал наработки, на котором обнаружены неисправности, разбивается на несколько разрядов (интервалов) величиной Dt. Количество разрядов k определяется правилом Старджена:

(1)

Расчет эмпирических характеристик надежности. В каждом интервале Dt_i производится расчет эмпирических значений плотности f^*(t), интенсивности l^*(t) отказов и вероятности безотказной работы P^*(t) по формулам:

(2)

где ( )=N_иi - число объектов, исправно проработавших на начало рассматриваемого периода (т.е. на начало i-го разряда);

Dn_i - число объектов, отказавших в интервале наработки Dt_i.

Если в какой-либо интервал Dt_i попадает менее двух значений наработки, то его необходимо объединить с соседним и рассматривать интервал 2Dt. При этом, соответственно, уменьшается количество интервалов разбиения.

Выбор теоретического закона распределения. На основе расчета эмпирических характеристик строятся гистограммы распределения плотности, интенсивности отказов и вероятности безотказной работы как функции наработки. Исходя из внешнего вида гистограмм, их схожести с известными законами распределения (Приложение 1) и физической природы появления отказа, структуры изделия, условий и режимов эксплуатации, принимается гипотеза о виде теоретического распределения отказов.

Экспоненциальное распределение. Причины отказов - внезапные концентрации нагрузок внутри или вне объекта. Отказ наступает при превышении нагрузкой допустимой величины. Очевидно, что интенсивность отказов здесь не зависит от наработки. Такое распределение характерно для большого класса внезапных отказов, появляющихся без каких-либо предшествующих симптомов. Типичным примером такого отказа является отказ, связанный с попаданием посторонних предметов в проточную часть двигателя. Также близки к экспоненциальному распределению отказы объекта, состоящего из большого числа элементов, вероятности отказов которых малы (например, отказы радиоэлектронного, высотного оборудования самолетов).

Нормальное распределение. Это распределение имеет случайная величина, представляющая собой сумму большого числа независимых случайных величин, причем все они в об щей сумме играют относительно малую роль. В практике эксплуатации нормальное распределение характерно для отказов, связанных с накоплением повреждений в материале конструкции, происходящем с постоянной или примерно постоянной скоростью развития. Такими отказами могут являться износы, старение материалов, наклеп, происходящие с постоянной скоростью.

Логарифмически-нормальное распределение. Этому распределению могут подчиняться отказы, имеющие следующую причину. Каждое воздействие внешней нагрузки приводит к накоплению повреждений в материале детали. При этом величина добавляемого повреждения пропорциональна уже накопленному. Отказ наступает при превышении накопленного повреждения определенной величины. Примером такого отказа может служить усталостная долговечность лопаток, дисков, валов и других деталей авиадвигателей, силовой набор, узлы крепления агрегатов и другие детали планера ЛА.

Распределению Вейбулла обычно отвечает физическая модель так называемого «слабого звена». Объект представляется состоящим из большого числа элементов, накопление повреждений в которых идет независимо друг от друга. Отказ объекта наступает при отказе одного любого элемента. При этом, независимо от типа распределения отказов каждого элемента, распределение отказов объекта будет Вейбулловским. Оно хорошо описывает усталостную долговечность авиационных конструкций и приработочные отказы.

Распределение Рэлея характерно для объектов, имеющих интенсивные износы, старение, накопление повреждений.

Равномерное распределение применяется, если отсутствуют физические предпосылки, приводящие к вышеперечисленным моделям, а гистограмма плотности не имеет явно выраженной тенденции к увеличению или уменьшению.

Определение неизвестных параметров закона распределения. Исходя из вида плана наблюдений и закона распределения отказов, выбирается метод определения неизвестных параметров.

Для плана наблюдений [NUN], т.е. для полной выборки, рекомендуется использовать метод моментов. Формулы для вычисления параметров различных законов распределения с помощью этого метода приведены в Приложении 2. Некоторую трудность здесь представляет нахождение параметров распределения Вейбулла. Их можно найти путем графического решения системы уравнений:

(3)

Для этого строятся кривые t₀= f₁(m) и t₀= f₂(m) по ряду значений m. Точка пересечения этих кривых дает значения искомых параметров t₀ и m (рисунок 1).

Для планов наблюдений [NUr] и [NUT] рекомендуется применять метод разделяющих разбиений или метод максимума правдоподобия. Последний метод дает простое выражение для вычисления параметра l для плана [NUT] экспоненциального закона распределения:

(4)

где - время наблюдения.

Параметры нормального и логарифмически-нормального законов распределения можно найти с использованием метода разделяющих разбиений. Суть метода заключается в приравнивании значений теоретической и эмпирической функции распределений при некоторых значениях наработки и составлении системы уравнений, число которых равно числу неизвестных параметров закона распределения. Для нормального закона распределения эта система будет состоять из двух уравнений:

(5)

где m_t- математическое ожидание;

s_t- среднеквадратическое отклонение;

F^*, F - эмпирическая и теоретическая функции распределения.

Значения наработки t₁ и t₂ рекомендуется выбирать в первой и последней третях вариационного ряда. Так как F^*(t_i) = 1-P^*(t_i), а F(m_t, s_t, t_i) = F[(t_i-m_t)/s_t], где F - стандартная нормальная функция распределения (таблица 2 Приложения 2), то из системы уравнений (5) можно получить следующую систему:

(6)

где z_i - аргумент функции Ф(z_i) при ее значении, равном F^*(t_i).

При решении системы (6) получим:

(7)

Для логарифмически-нормального распределения:

(8)

где - m_l и s_l - параметры логарифмически нормального распределения.

Тогда:

(9)

Параметры распределения Вейбулла для планов [NUr] [NUT] находятся, как и в предыдущем случае, путем графического решения системы уравнений:

(10)

Проверка правильности принятой гипотезы осуществляется с помощью критерия Пирсона. Для его использования необходимо определить некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, и оценить значимо ли это расхождение или не значимо. Если в качестве расхождения принять величину:

(11)

где q_i(Dt_i)- теоретическая вероятность отказа в интервале Dt_i, то она не будет зависеть от вида распределения отказов и при увеличении числа N будет приближаться к распределению c² , т.е. U²=c².

При экспоненциальном распределении значение q_i(Dt_i) определяется выражением:

(12)

где t_i-1, t_i - наработки, соответствующие началу и концу интервала Dt_i.

При нормальном распределении

(13)

Распределение c² зависит от числа «степеней свободы» r, которое равно числу разрядов k минус число «связей», наложенных на q_i^*. Число связей равно числу неизвестных параметров распределения плюс единица (дополнительная «связь» - Число разрядов k для плана наблюдения [NUN] равно числу интервалов разбиения вариационного ряда, a для планов [NUT] и [NUr] на единицу больше, так как добавляется интервал от Т (t_n) до +¥:

(14)

где s - число параметров закона распределения.

Распределение c² представлено в табличном виде (таблица 3 Приложения 2). По нему для каждого значения c² и числа степеней свободы r можно найти вероятность того, что величина, распределенная по закону c², превзойдет табличное значение.

Оценку согласованности распределений производят, задаваясь уровнем значимости a, выраженной в процентах максимально допустимой вероятности того, что гипотеза отвергнута неправильно. Рекомендуемые уровни значимости - 1, 5, 10%. Задавшись a, по величине P=1-a и r, по таблице распределения находится критическое значение c²_кр. Если величина U², рассчитанная по формуле (11), попадает в критическую область (c²_кр; +¥), то гипотеза о виде закона распределения отвергается и вероятность того, что гипотеза отвергнута ошибочно, не будет превышать a. Принимается гипотеза о другом виде распределения, и расчеты повторяются.

Определение точности оценок параметров распределения. Требуется установить, к каким ошибкам может привести замена истинного параметра закона распределения m его статистической оценкой m^*. Для этого используются доверительные интервалы и доверительные вероятности. Доверительным называется интервал I_b, который с заданной достаточно большой вероятностью b (как правило b>90%) накрывает истинное значение параметра распределения, т.е. Величина b называется доверительной вероятностью.

Расхождение между m и m^* является случайной величиной, связанной, как правило, с недостаточным объемом выборки. Для различных параметров законов распределения эта случайная величина (или некоторая функция от нее) подчиняется собственным законам распределения. Как правило, это распределения Стьюдента, нормальное или c². Зная эти законы распределения, можно получить расчетные формулы для вычисления граничных значений доверительных интервалов.

Например, для нормального закона распределения некоторая функция

где m - математическое ожидание, D^*- дисперсия, подчиняется закону распределения Стьюдента с N-1 степенями свободы.

Отсюда можно определить доверительный интервал для m:

Выражения для нахождения верхних и нижних границ доверительных интервалов параметров различных законов распределения приведены в Приложении 2.

Поcтроение графиков теоретического распределения. Строятся графики распределений f(t), l(t) и P(t) при значениях параметров распределения, соответствующих верхним и нижним границам доверительного интервала.

Оценка надежности объекта. Осуществляется путем сравнения расчетных и нормативных значений некоторых показателей надежности. Как правило, в качестве таких показателей принимается либо g-процентная наработка до первого отказа t_g при заданном значении вероятности безотказной работы g, выраженной в процентах, либо по величине коэффициента К₁₀₀₀, равному числу отказов на 1000 часов наработки.

3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

Пример 1. Определить закон распределения неисправностей насосов-регуляторов двигателя НК-8-2У.

Дано: время наблюдения Т_a=1000 часов;

число изделий N=383;

число неисправных изделий n=16;

время наработки до отказов отдельных экземпляров t_i: 50, 70, 150, 220, 250, 400, 480, 500, 590, 640, 660, 790, 880, 910, 940, 980 часов.

Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:

k = 1 +3,3*lg16=4,97

Число разрядов принимаем равным 5 c величиной Dt_i=200 ч.

Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения f_i^*(t), l_i^*(t) и P_i^*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 1).

Следует помнить, что N_иi - это разность между числом объектов N, над которыми велось наблюдение, и числом объектов, отказавших на начало интервала i. Например, для четвертого интервала N_и4=383-3-2-4=374.

Таблица 1. Расчет эмпирических характеристик

№ инт.	ti-1, час	ti, час	Dti, час	Dni	fi*=Dni/NDti, 1/час	li*=Dni/NиiDti, 1/час	Pi*=fi*(t)/li*(t)
					3.915*10-5	3.915*10-5	1.0
					2.61*10-5	2.63*10-5	0.9922
					5.22*10-5	5.28*10-5	0.9886
					3.915*10-5	4.02*10-5	0.9739
					5.22*10-5	5.40*10-5	0.9667

Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 1 строятся гистограммы эмпирического распределения (рисунок 2).

а) б)

в)

Рисунок 2. Гистограммы эмпирического распределения

а) плотность распределения; б) интенсивность отказов;

в) вероятность безотказной работы

Насос-регулятор является сложным объектом, состоящим из множества элементов, вероятность отказов которых достаточно мала. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы насоса-регулятора распределены по экспоненциальному закону. Этому предположению не противоречит и внешний вид гистограмм.

Определение параметров закона распределения. Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти один параметр - интенсивность отказов l. В настоящем примере осуществлен план наблюдений [NUT], следовательно, параметр l можно вычислить с использованием метода максимума правдоподобия по выражению (4)

Отсюда, среднее время наработки до отказа Т_ср=1/l=1/4,088*10^-5=24460 ч.

Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению (11). Число разрядов при рас чете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от Т_a до +¥. Результаты расчетов представлены в таблице 2

Таблица 2. - Расчет критерия Пирсона

№ инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti, ч	Dni	qi(Dti)	N*qi(Dti)	Dni -N*qi(Dti)	Ui2
					0.0081462	3.12	-0.12	0.00463
					0.0080809	3.095	-1.095	0.38725
					0.0080156	3.07	0.93	0.28205
					0.0079503	3.045	-0.045	0.00065
					0.0078851	3.02	0.98	0.31822
		¥			0.959925	367.65	-0.65	0.000115
	U2=SUi2= 0.99397

Величина q_i(Dt_i) рассчитывается по выражению (12). Например, для второго интервала:

Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и одного параметра закона распределения, в соответствии с (14), равно 4 (r=6-1-1). Задавшись уровнем значимости a=10%, по таблице 3 Приложения 2 в зависимости от P=1-a=90% и числа степеней свободы r=4 находим критическое значение c²_кр=7,78. Подсчитанное значение U²=0,99397 не попадает в критическую область (7,78; +¥), следовательно, принятая гипотеза об экспоненциальном законе распределения не противоречит статистическим данным.

Определение точности оценок параметров распределения. Верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для параметра l вычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2.

[1/ч]

[1/ч]

Для доверительной вероятности b=90% и n=16 найдем значения и т.е. значения c², соответствующие доверительной вероятности и соответственно, и числу степеней свободы 2*n=2*16=32 и 2*n+2=2*16+2=34 (по таблице 3 приложения 2):

c²_0,05;32=20,1; c²_0,95;34=46,2.

Подставив найденные значения, получим:

[1/ч]

[1/ч]

Таким образом, интервал (2,59*10^-5; 5,85*10^-5) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра l.

Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производим для диапазона 0<t<20000 часов (рисунок 3). Расчетные данные сведены в таблицу 3.

Таблица 3 - Расчет теоретических характеристик

t, ч
l(t)*10-5 1/ч	4,09	4,09	4,09	4,09	4,09	4,09	4,09	4,09	4,09	4,09
f(t)*10-5 1/ч	3,77	3,47	3,20	2,95	2,72	2,50	2,31	2,13	1,96	1,80
Pн(t)	0,8895	0,7913	0,7040	0,6263	0,5571	0,4956	0,4409	0,3922	0,3489	0,3104
P(t)	0,9215	0,8491	0,7824	0,7209	0,6643	0,6121	0,5641	0,5198	0,4789	0,4413
Pв(t)	0,9495	0,9016	0,8560	0,8129	0,7718	0,7328	0,6959	0,6608	0,6274	0,5957

Вычисления проводились по формулам (таблица 1 Приложения 2 ):

Рисунок 3. Графики теоретического распределения.

Пример 2. Определить закон распределения неисправностей подшипников опор двигателя НК-8-2У.

Дано: время наблюдения Т_a=1000 часов;

число изделий N=352;

число неисправных изделий n=18;

время наработки до отказов отдельных экземпляров t_i: 60, 110, 110, 110, 130, 170, 200, 230, 260, 280, 280, 370, 510, 570, 780, 790, 920, 1000 часов.

Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:

k = 1 +3,3lg18=5,14.

Число разрядов принимаем равным 5 величиной Dt_i=200 ч.

Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения f_i^*(t), l_i^*(t) и P_i^*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 4).

Tаблица 4 - Расчет эмпирических характеристик

№ инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti, ч	Dni	fi*=Dni/NDti 1/ч	li*=Dni/NиiDti 1/ч	Pi*=fi*(t)/li*(t)
					9,95*10-5	9,95*10-5	1.0
					7,10*10-5	7,25*10-5	0,9801
					2,84*10-5	2,94*10-5	0,9659
					2,84*10-5	2,96*10-5	0,9602
					2,84*10-5	2,98*10-5	0,9545

Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 4 строятся гистограммы эмпирического распределения аналогично примеру 1.

Надежность подшипников определяется усталостной долговечностью. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы подшипников распределены по закону Вейбулла. Это подтверждает и внешний вид гистограмм.

Определение параметров закона распределения. Закон Вейбулла является двухпараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти два параметра - m и t₀=1/l.

Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти графическим методом с использованием выражения (10) и задаваясь различными значениями m:

m=0.5 f₁(m)=604.90 f₂(m)=545.45

m=0.7 f₁(m)=2396.36 f₂(m)=2338.33

m=0.9 f₁(m)=9505.34 f₂(m)=9719.49

m=0.8 f₁(m)=4772.02 f₂(m)=4779.34

Графики f₁(m) и f₂(m) пересекаются в точке с абсциссой, соответствующей m=0,79. При решении уравнений (10) одним из методов последовательного приближения с помощью компьютера получено уточненное значение m=0,793. Соответствующее значение t₀=4560, l=0,000219.

Среднее время наработки до отказа определяется по формуле:

,

где Г(1/m + 1) – Гамма-функция (таблица 16 Приложения 2).

Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению (11). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от T_a до +¥. Результаты расчетов представлены в таблице 5.

Величины q_i(Dt_i) рассчитывается по следующему выражению:

Таблица 5 - Расчет критерия Пирсона

N инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti, ч	Dni	qi(Dti)	N*qi(Dti)	Dni -N*qi(Dti)	Ui2
					0.01454	5.118	1,882	0.69187
					0.010519	3.703	1,297	0.45455
					0.009338	3.287	-1,287	0.50399
					0.008622	3.035	-1,035	0.35299
					0.008111	2.855	-0,855	0.25614
					0.948869	334.0017	-0.0017	8,99*10-9
	U2=SUi2= 2,25956

Например, для третьего интервала:

q₃(Dt₃)=0.974941 - 0.965602 = 0.009338

Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и двух параметров закона распределения, в соответствии с (14), равно 3 (r=6-2-1). Задавшись уровнем значимости a=10%, по таблице 3 Приложения в зависимости от P=1-a=90% и числа степеней свободы r=3 находим критическое значение c²_кр=6,25. Подсчитанное значение U²=2,25956 не попадает в критическую область (6,25; +¥), следовательно, принятая гипотеза о законе распределения Вейбулла не противоречит статистическим данным.

Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и нижние границы доверительных интервалов для параметров l=1/t₀ и m вычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения:

;

;

Формулы для определения величин D(m) и D(l) также представлены в Приложении 2.

Выполним промежуточные вычисления:

n/l²=3,75*10⁸; n/m²=28,594;

St_i^mlnt_i=11760,05; St_i^mlnt_i²=73047,74;

Т_a^m = 239,33; lnТ_a=6,908; ln²Т_a=47,717.

n/l²+l*[ St_i^mlnt_i²+(N-n)*Т_a^m ln²Т_a] =

= 28,594+0,000219*(73047,74+(352-16)239,33*47,717)=884.9288

Для доверительной вероятности b=90% z_b=1,645.

Таким образом, интервал (-0,00027; 0,0007) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра l, а интервал (0,474; 1,112) - значение параметра m.

Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производим для диапазона 0<t<20000 часов аналогично примеру 1. Следует учесть, что отрицательное значение l не имеет смысла, так как при этом величина P(t) будет больше 1. Поэтому необходимо ограничить l_н=0 с соответствующим значением P_в(t)=1. Нижнее значение P_н(t) соответствует верхним значениям параметров l_в и m_в.

Расчетные данные сведены в таблицу 6.

Таблица 6 - Расчет теоретических характеристик

t, ч
l(t)*10-5 1/ч	3,61	3,12	2,87	2,71	2,58	2,48	2,41	2,34	2,28	2,24
f(t)*10-5 1/ч	3,29	2,67	2,31	2,06	1,87	1,71	1,58	1,46	1,36	1,27
Pн(t)	0.378	0.0008	1,47*10-5	2*10-7	3*10-9	3,6*10-11	4*10-13	4*10-15	4*10-17	4*10-19
P(t)	0,9132	0,8544	0,8049	0,7613	0,7222	0,6865	0,6538	0,6235	0,5953	0,5690
Pв(t)	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0

Пример 3. Определить закон распределения неисправностей редуктора, связанных с износом зубчатых колес

Дано: время наблюдения Т_a=6000 часов;

число изделий N=174;

число неисправных изделий n=31;

время наработки до отказов отдельных экземпляров t_i: 360,920,987,1002,1380,1690,1850,1920,2780,3025,3272,3670,3810,3880,7117,4190,4210,4380,4420,4500,4730,4800,4850,5050,5190,5310,5360,5590,5870,5910,5920 часов.

Группировка данных. Интервал наработки 0...6000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:

k = 1 +3,3lg31=5,92.

Число разрядов принимаем равным 6 величиной Dt_i=1000 ч.

В интервале от 2000 до 3000 часов наблюдался только один отказ, поэтому объединяем его с соседним и получаем новый интервал от 2000 до 4000 часов. Число разрядов при этом будет равно 5.

Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения f_i^*(t), l_i^*(t) и P_i^*(t). Результаты расчетов представлены в таблице 7.

Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 7 строятся гистограммы эмпирического распределения.

Выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения, так как именно оно характерно для отказов, связанных с износом. Это подтверждает и внешний вид гистограмм.

Определение параметров закона распределения. Нормальный закон распределения является двухпараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти два параметра - m_t и s_t.

Таблица 7 - Расчет эмпирических характеристик

№ инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti, ч	Dni	fi*=Dni/NDti, 1/ч	li*=Dni/NиiDti, 1/ч	Pi*=fi*(t)/li*(t)
					1,724*10-5	1,724*10-5	1,0
					2,874*10-5	2,924*10-5	0,9829
					1,724*10-5	1,807*10-5	0,9541
					5,172*10-5	5,625*10-5	0,9195
					4,598*10-5	5,298*10-5	0,8679

Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти методом разделяющих разбиений с использованием выражений (5) и (6).

Выберем значения наработки t₁=2000 и t₂=5000 ч.

Значения F^*(t_i)=1-P^*(t_i) соответственно:

F^*(t₁)=1 - 0,9541=0,0459; F^*(t₂)=1 - 0,8679=0,1321.

По таблице стандартной нормальной функции распределения (таблица 2 Приложения) находим значения квантилей Z, соответствующих значениям F^*(t_i):

z₁=-1,68; z₂=-1,115.

ч.

ч.

Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению ( 11 ). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения

Таблица 8 - Расчет критерия Пирсона

N инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti,ч	Dni	qi(Dti)	N*q(Dti)	Dni-N*qi(Dti)	Ui2
					0.0301	5,24	-2,24	0,95756
					0.0158	2,75	2,25	1,84091
					0.0509	8,86	-2,86	0,92321
					0.0353	6,14	2,86	1,33218
					0.0454	7,90	0,10	0,00127
		¥			0.8225	143,115	-0.115	0,00009
	U2=SUi2=5,05522

вариационного ряда k, так как добавляется интервал от T_a до +¥. Результаты расчетов представлены в таблице 8.

Величина q_i(Dt_i) рассчитывается по следующему выражению:

,

где Ф(…) – функция стандартного нормального распределения (таблица 2 Приложения 2).

Например, для четвертого интервала:

Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и двух параметров закона распределения, в соответствии с (14), равно 3 (r=6-2-1). Задавшись уровнем значимости a=10%, по таблице 3 Приложения в зависимости от P=1-a=90% и числа степеней свободы r=3 находим критическое значение c²_кр=6,25. Подсчитанное значение U²=5,05522 не попадает в критическую область (6,25; +¥), следовательно, принятая гипотеза о нормальном законе распределения не противоречит статистическим данным.

Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и нижние границы доверительных интервалов для параметров m_t и s_t вычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2:

Z_b - квантиль нормального распределения (таблица 4 Приложения 2); для b=90% Z_b=1,645;

k=( m_t - Т_a)/s_t; f₂(k) и f₃(k) находятся по таблице 15 Приложения 2 в зависимости от величины k.

и

Таким образом, интервал (3913,6; 6512,2) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра s_t, а интервал (9105,4;12529,6) - значение параметра m_t.

Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производим для диапазона 0<t<12000 часов аналогично примеру 1. Нижнее значение P_н(t) соответствует s_в и m_н; верхнее значение P_в(t) соответствует s_в и m_в:

Расчетные данные сведены в таблицу 9.

Таблица 9 - Расчет теоретических характеристик

t, ч
l(t)*10-5, 1/ч	1,92	3,61	6,09	9,37	13,46	18,22
f(t)*10-5, 1/ч	1,83	3,26	4,99	6,61	7,56	8,45
Pн(t)	0,8621	0,7823	0,6844	0,5675	0,4443	0,3300
P(t)	0,9545	0,904	0,8186	0,7054	0,5616	0,409
Pв(t)	0,9643	0,9049	0,8413	0,758	0,6517	0,5319

Определим g-процентный ресурс для g=99,99% и нижней оценки P_н(t) :

Квантиль, соответствующий вероятности 0,0001, определяется по таблице 2 Приложения 2:

отсюда

Отрицательное значение наработки объясняется тем, что отношение m_н /s_в =1,5 слишком мало и распределение с такими параметрами необходимо рассматривать как усеченно-нормальное. Величина t_g в этом случае находится из соотношения:

где

Отсюда z=-1,399, а t_g=6521,2*(-1,399)+9105,4=17,7 ч.

Пример 4. При исходных данных примера 3 проверить гипотезу ологарифмически-нормальном законе распределения.

Определение параметров закона распределения. m_l и s_l.

Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти методом разделяющих разбиений с использованием выражений (5) и (6).

Выберем значения наработки t₁=1500 и t₂=5500 ч. Значения F^*(t_i)=1-P^*(t_i) соответственно:

По таблице стандартной нормальной функции распределения (таблица 2 Приложения) находим значения квантилей z, соответствующих значениям F^*(t_i):

Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона c², рассчитанного по выражению (11). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от t_a до +¥. Результаты расчетов представлены в таблице 10.

Таблица 10 - Расчет критерия Пирсона

№ инт.	lnti-1	lnti	Dti	Dni	qi(t)	N*qi(t)	Dni-N*qi(t)	Ui2
		8,9077			0,0082	1,43	1,57	1,73485
	6,9077	7,6009			0,0219	3,81	1,19	0,37125
	7,6009	8,2941			0,0584	10,16	-4,16	1,70435
	8,2941	8,5172			0,0285	4,96	4,04	3,29294
	8,5172	8,6995			0,0299	5,20	2,80	1,50414
	8,6995				0,8531	148,439	-5,439	0,19932
	U2=SUi2= 8,80662

Величина q_i(Dt_i) рассчитывается по следующему выражению:

Например, для четвертого интервала

При уровне значимости a=10%, числе степеней свободы r=3 и критическом значении c²_кр=6,25. подсчитанное значение U²=8,80622 попадает в критическую область (6,25; + ). Но если принять a=2,5%, то c²_кр=9,35 и U²=8,80622 не попадает в критическую область (9,35; + ). Следовательно, можно принять гипотезу о логарифмически-нормальном законе распределения, однако, следует иметь в виду, что нормальное распределение лучше описывает рассматриваемые статистические данные.

Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и нижние границы доверительных интервалов для параметров m_l и s_l вычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2:

Z_b - квантиль нормального распределения (таблица 4 Приложения 2); для b=90% Z_b=1,645;

и находятся по таблице 15 Приложения 2 в зависимости от величины k.

f₂(k)=9,648 и f₃(k)=4,962.

Таким образом, интервал (0,95;1,68) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра s_l, а интервал (9,57; 10,59) - значение параметра m_l.

Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производится аналогично Примеру 3.

4. ОЦЕНКА УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ

Конечным результатом работы является сравнение фактических значений характеристик надежности с нормативными величинами. В качестве нормативных величин можно выбрать либо гамма-процентную наработку до первого отказа, либо коэффициент К₁₀₀₀.

Гамма-процентная наработка (t _g) – это наработка, в течение которой изделие проработает до первого отказа с вероятностью g, выраженной в процентах.

По Нормам летной годности воздушное судно допускается к эксплуатации, если оно спроектировано и построено так, что в ожидаемых условиях эксплуатации, при действии экипажа в соответствии с требованиями Руководства по летной эксплуатации, суммарная вероятность возникновения катастрофической ситуации, вызванной отказом функциональных систем, не превышает 10^-7, аварийной ситуации 10^-6, сложной ситуации 10^-4 на один час типового полета.

Для анализа надежности можно принять допустимую вероятность отказа Q(t=1)=10^-4, а вероятность безотказной работы P(t=1)=0,9999 и, соответственно, g=99,99%. В этом случае величина t_99,99 должна быть не менее 1 часа.

Определим гамма-процентную наработку t_99,99 для примера 1.

По условию:

Подставив численные значения, получим:

0,9999=e^{-0,0000585 * tg}. Отсюда

часа.

Таким образом, гамма-процентная наработка насосов-регуляторов удовлетворяет требованиям надежности и безопасности полетов.

Пример 2. Для распределения Вейбулла P(t_g)=exp(-t_g^mв/t_0н). Отсюда

часа

Как видим, надежность подшипникового узла значительно меньше требуемой. Для повышения надежности требуется произвести доработку узла.

Для примера 3 величина t_99,99=17,7 часа.

Пример 4. Для логарифмически-нормального закона распределения

.

.

Квантиль, соответствующий вероятности 0,0001 определяется по таблице 2 Приложения:

, отсюда

часов.

Величина t_99,99=28,61 часов удовлетворяет требованиям надежности.

Коэффициент К₁₀₀₀ равен числу отказов, приходящихся на 1000 часов наработки изделия. Он определяется выражением: К₁₀₀₀=1000/Т_ср , где Т_ср – среднее время наработки до отказа элемента, агрегата или системы.

Существуют нормативные значения К₁₀₀₀ для каждого типа самолета для основных деталей, узлов и агрегатов всех функциональных систем. Контрольным уровнем коэффициента принимается значение равное 0,2. Оценка уровня надежности сводится к сравнению фактического и нормативного значений этого коэффициента.

Для ПРИМЕРА 1 значение К₁₀₀₀=1000/24460=0,041, для примера 2 - К₁₀₀₀=1000/46879б6=0,021 , для примера 3 – К₁₀₀₀=1000/10817,4=0,092, для П примера 4 – К₁₀₀₀=1000/57022=0,017. При сравнении с контрольным значением расчетных величин К₁₀₀₀, видим, что в примере 2 заключение, которое можно сделать по коэффициенту К₁₀₀₀ (изделие удовлетворяет требованиям надежности) не согласуется с заключением, сделанным на основе анализа гамма-процентной наработки до первого отказа. В этом случае принимается наихудший вариант, что идет в запас надежности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акимов В.М. «Основы надежности газотурбинных двигателей» / Москва, «Машиностроение»,1981 г. 207 стр.

2. Косточкин В.В. «Надежность авиационных двигателей и силовых установок» / Москва, «Машиностроение»,1976 г. 248 стр.

3. Милов Е.А. «Анализ эксплуатационной надежности авиационной техники». Метод. указания / Куйбышев, Куйбышевский авиационный институт, 1992 г. 38 стр.

Приложение 1

Приложение 2

Таблица 1 – Аналитический вид характеристик законов распределения