Олекулярно-кинетическая теория идеальных газов

· Концентрация частиц (молекул, атомов и т.п.) однородной системы

где V-объём системы

· Основное уравнение кинетической теории газов

где p — давление газа; <E_k>-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

· Средняя кинетическая энергия:

приходящаяся на одну степень свободы молекулы

приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)

поступательное движение молекулы

где k-постоянная Больцмана; T-термодинамическая температура; i-число степеней свободы молекулы;

Энергия вращательного движения молекулы

· Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

· Скорость молекулы:

средняя квадратичная

, или

средняя арифметическая

, или

наиболее вероятная

, или

где m₁ – масса одной молекулы.

· Барометрическая формула

где p_h и p₀ – давление газа на высоте h и h₀.

· Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

где n и n₀ – концентрация молекул на высоте h и h=0; П=m₀gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

· Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с ,

где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; <υ> - средняя арифметическая скорость молекул.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

· Закон теплопроводности Фурье

,

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT/dx – градиент температуры; λ – теплопроводность:

где c_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа; <υ> - средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; <l> - средняя длина свободного пробега молекул.

· Закон диффузии Фика

где M – масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; dρ/dx – градиент плотности; D – диффузия:

.

· Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; dυ/dx – градиент скорости; η – динамическая вязкость:

.

5.1. Начертить графики изотермического, изобарного и изохорного процессов в координатах P и V, P и Т, Т и V.

5.2. Определить число N атомов в 1 кг водорода и массу одного атома водорода.

5.3. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г и гелий массой 12 г. Определить: 1) давление; 2) молярную массу газовой смеси в сосуде, если температура смеси Т = 300 К.

5.4. Определить плотность смеси газов водорода массой m₁ = 8 г и кислорода массой m₂ = 64 г при температуре Т = 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными.

5.5. Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определить массу водорода, если масса смеси равна 150 г.

5.6. В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Определить концентрацию молекул кислорода в сосуде.

5.7. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м³.

5.8. Определить среднюю кинетическую энергию <E₀> поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па. Концентрация молекул газа равна 10¹³ см^-3.

5.9. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти формулу наиболее вероятной скорости υ_B.

5.10. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям и (u = υ/υ_в).

5.11. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 °С.

5.12. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты. Давление воздуха у поверхности Земли принять равным P₀.

5.13. Определить отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.

5.14. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е — основание натуральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считать не зависящими от высоты.

5.15. Определить среднюю длину свободного пробега <l> молекул кислорода, находящегося при температуре 0 °С, если среднее число <z> столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7·10⁹.

5.16. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 °С? Диаметр молекулы водорода принять равным 0,28 нм.

5.17. Определить среднюю продолжительность <τ> свободного пробега молекул водорода при температуре 27 °С и давлении 5 кПа. Диаметр молекулы водорода' принять равным 0,28 нм.

5.18. Средняя длина свободного пробега <l> молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определить среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остается постоянной.

5.19. При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега <l> молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число <z> столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.

5.20. Определить коэффициент теплопроводности λ азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

5.21. Кислород находится при нормальных условиях. Определить коэффициент теплопроводности λ кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм.

5.22. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см² каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 °С, другая – при температуре 27 °С. Определить количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм.

5.23. Определить коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным 0,36 нм.

5.24. Определить массу азота прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см² за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м⁴. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм.

5.25. Определить коэффициент теплопроводности λ азота, если коэффициент динамической вязкости η для него при тех же условиях равен 10 мкПа^.с.

сновы термодинамики

· Связь между молярной (C_m) и удельной (c) теплоёмкостями газа

где M-молярная масса газа.

· Молярные теплоёмкости * при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны

;

где i-число степеней свободы; R-молярная газовая постоянная.

· Удельные теплоемкостью при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны

;

· Уравнение Майера

· Показатель адиабаты

, или , или .

· Внутренняя энергия идеального газа

, или ,

где <E_k>-средняя кинетическая энергия молекулы; N-число молекул газа; k-количество вещества, .

· Работа, связанная с изменением объёма газа, в общем случае вычисляется по формуле

где – V₁ начальный объём газа; V₂ - его конечныё объём.

Работа газа;

а) при изобарном процессе (p=const)

б) при изотермическом процессе (T=const)

в) при адиабатном процессе

где T₁ –начальная температура газа; T₂ –ого конечная температура.

· Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе)

· Связь между начальным и конечным значениями параметров состояния газа при адиабатном процессе:

; ;

· Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

где Q-количество теплоты, сообщение газу; ∆U-изменение его внутренней энергии; A-работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики:

а) при изобарном процессе

б) при изохорном процессе (A=0)

в) при изотермическом процессе (∆U=0)

г) при адиабатном процессе (Q=0)

• Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае

где Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

, или

где T₁ – температура нагревателя; T₁ – температура охладителя.

• Изменение энтропии

,

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состоянию системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

• Формула Больцмана

,

где S – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность её состояния; k – постоянная Больцмана.

6.1. Азот массой m = 10 г находится при температуре Т = 290 К. Определить: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул азота. Газ считать идеальным.

6.2. Кислород массой m = 1 кг находится при температуре Т = 320 К. Определить: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.

6.3. В закрытом сосуде находится смесь азота массой m₁ = 56 г и кислорода массой m₂ = 64 г. Определить изменение внутренней энергии этой смеси, если ее охладили на 20°.

6.4. Считая азот идеальным газом, определить его удельную теплоемкость: 1) для изобарного процесса; 2) для изохорного процесса.

6.5. Определить удельные теплоемкости c_V и c_р, если известно, что некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем V = 0,7 м³/кг. Что это за газ?

6.6. Определить удельные теплоемкости c_v и с_р смеси углекислого газа массой m₁ = 3 г и азота массой m₂ = 4 г.

6.7. Определить показатель адиабаты г для смеси газов, содержащей гелий массой m₁ = 8 г и водород массой m₂ = 2 г

6.8. Применяя первое начало термодинамики и уравнение состояния идеального газа, показать, что разность удельных теплоемкостей с_р – c_V = R/M.

6.9. Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлением 0,1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление в сосуде повысилось в 4 раза. Определить: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газу.

6.10. Определить количество теплоты, сообщенное газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объемом V = 20 л его давление изменилось на ΔP = 100 кПа.

6.11. Двухатомный идеальный газ (ν = 2 моль) нагревают при постоянном объеме до температуры T₁ = 289 К. Определить количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в n = 3 раза.

6.12. При изобарном нагревании некоторого идеального газа (ν = 2 моль) на ΔT = 90 К ему было сообщено количество теплоты 2,1 кДж. Определить: 1) работу, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии газа; 3) величину γ = C_p / C_V.

6.13. Азот массой m = 280 г расширяется в результате изобарного процесса при давлении P = 1 МПа. Определить: 1) работу расширения; 2) конечный объем газа, если на расширение затрачена теплота Q = 5 кДж, а начальная температура азота T₁ = 290 К.

6.14. Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса.

6.15. Некоторый газ массой m = 5 г расширяется изотермически от объема V₁ до объема V₂ = 2V₁. Работа расширения А = 1 кДж. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

6.16. Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при температуре Т = 300 К от давления P₁ = 100 кПа до давления P₂ = 500 кПа. Определить: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) количество выделившейся теплоты.

6.17. Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре Т = 300 К и под давлением P₁ = 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в два раза. Работа, затраченная на сжатие, А = –432 кДж. Определить: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.

6.18. Азот массой m = 50 г находится при температуре T₁= 280 К. В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в n = 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определить: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа.

6.19. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет А = 2 кДж. Определить количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.

6.20. При адиабатическом расширении кислорода (ν = 2 моль), находящегося при нормальных условиях, его объем увеличился в n = 3 раза. Определить: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа.

6.21. Азот массой m = 1 кг занимает при температуре T₁ = 300 К объем V₁ = 0,5 м³. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза. Определить: 1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру; 3) изменение внутренней энергии газа.

6.22. Азот, находившийся при температуре 400 К, подвергли адиабатическому расширению, в результате которого его объем увеличился в n = 5 раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определить массу азота.

6.23. Двухатомный идеальный газ занимает объем V₁ = 1 л и находится под давлением P₁ = 0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуется объемом V₂ и давлением P₂. В результате последующего изохор-ного процесса газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление P₃ = 0,2 МПа. Определить: 1) объем V₂; 2) давление P₂. Начертить график этих процессов.

6.24. Кислород, занимающий при давлении P₁ = 1 МПа объем V₁= 5 л, расширяется в n = 3 раза. Определить конечное давление и работу, совершенную газом. Рассмотреть следующие процессы: 1) изобарный; 2) изотермический; 3) адиабатический.

6.25. Рабочее тело – идеальный газ – теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последующих процессов: изобарного, адиабатического и изотермического.

В результате изобарного процесса газ нагревается от T₁ = 300 К до Т₂ = 600 К. Определить термический к.п.д. теплового двигателя.

6.26. Азот массой 500 г, находящийся под давлением P₁ = 1 МПа при температуре T₁= 127 °С, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в n = 3 раза. После этого газ подвергли адиабатическому сжатию до начального давления, а затем он был изобарно сжат до начального объема. Построить график цикла и определить работу, совершенную газом за цикл.

6.27. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.

6.28. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) отношение температур нагревателя и холодильника.

6.29. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический к.п.д. которого равен 0,4. Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения составляет 400 Дж.

6.30. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500 К, холодильника Т₂ = 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику.

6.31. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатического расширения объем газа увеличивается в n = 4 раза. Определить термический к.п.д. цикла.

6.32. Во сколько раз необходимо увеличить объем V = 5 моль идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на 57,6 Дж/К?

6.33. При нагревании двухатомного идеального газа (ν = 3 моль) его термодинамическая температура увеличилась в n = 2 раза. Определить изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.

6.34. Идеальный газ (ν = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что объем газа увеличился в n₁ = 2 раза, а затем изохорно охладили, так что давление его уменьшилось в n = 2 раза. Определить приращение энтропии в ходе указанных процессов.

6.35. Азот массой 28 г адиабатически расширили в n = 2 раза, а затем изобарно сжали до первоначального объема. Определить изменение энтропии газа в ходе указанных процессов.

Варианты заданий (номер варианта выбирается согласно номеру по журналу)

Тема 1. Кинематика

	1.1, 1.31, 1.10
	1.2, 1.32, 1.11
	1.3, 1.33, 1.12
	1.4, 1.34, 1.20
	1.5, 1.35, 1.21
	1.6, 1.36, 1.22
	1.7, 1.37, 1.23
	1.8, 1.30, 1.24

Тема 2. Динамика материальной точки

	2.1, 2.10, 2.59
	2.2, 2.11, 2.58
	2.3, 2.12, 2.57
	2.4, 2.13, 2.56
	2.5, 2.14, 2.55
	2.6, 2.15, 2.54
	2.7, 2.16, 2.53
	2.8, 2.17, 2.52

Тема 3-4. Динамика вращательного движения - Элементы специальной теории относительности

	3.1, 3.31, 4.1
	3.2, 3.30, 4.2
	3.3, 3.29, 4.3
	3.4, 3.28, 4.4
	3.5, 3.27, 4.5
	3.6, 3.26, 4.6
	3.7, 3.25, 4.7
	3.8, 3.24, 4.8

Тема 5. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

	5.1, 5.20, 5.14
	5.2, 5.21, 5.15
	5.3, 5.22, 5.16
	5.4, 5.23, 5.17
	5.5, 5.24, 5.12
	5.6, 5.25, 5.10
	5.7, 5.16, 5.6
	5.8, 5.17, 5.13

Тема 6. Основы термодинамики

	6.1, 6.31, 6.20
	6.2, 6.32, 6.21
	6.3, 6.33, 6.22
	6.4, 6.34, 6.23
	6.5, 6.35, 6.24
	6.6, 6.36, 6.25
	6.7, 6.30, 6.15
	6.8, 6.29, 6.16

ПРИЛОЖЕНИЯ