Признаки сходимости знакопеременных и

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Высшая математика»

Составители: Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

Корниенко Л.И.

МОСКВА 2005

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета № 14 специальностей 071000, 130200, 220200.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть u1, u2, u3, …, un, … - бесконечная числовая последовательность. Выражение признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru называется бесконечным числовым рядом, числа u1, u2, u3, …, un - членами ряда; признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru называется общим членом ряда. Ряд часто записывают в сокращенном (свернутом) виде: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru и называют n-й частичной суммой ряда:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru Число признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru называют суммой ряда.

Если же n-я частичная сумма ряда при признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Пример 1.Найти сумму ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Решение. Имеем признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru . Так как:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru ,

то

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Следовательно,

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Так как признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то ряд сходится и его сумма равна признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ РЯДАХ

Теорема 1. Если сходится ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru то сходится и ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru получаемый из данного ряда отбрасыванием первых признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru членов (этот последний ряд называют признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru -м остатком исходного ряда). И наоборот, из сходимости признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru -го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

Теорема 2. Если сходится ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru и суммой его является число признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то сходится и ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru причем сумма последнего ряда равна признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Теорема 3. Если сходятся ряды признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru имеющие соответственно суммы S и Q, то сходится и ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru причем сумма последнего ряда равна признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Теорема 4 (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru сходится, то признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , т.е. при признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Следствие 1. Если признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то ряд расходится.

Следствие 2. Если признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то определить сходимость или расходимость ряда с помощью необходимого признака сходимости нельзя. Ряд может как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 2.Исследовать сходимость ряда:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Решение. Находим общий член ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru . Так как:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru ,

т.е. признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости).

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ

ЧЛЕНАМИ

ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ

Признаки сравнения основаны на сравнении сходимости заданного ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Для сравнения используются ниже перечисленные ряды.

Ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru составленный из членов возрастающей геометрической прогрессии, является расходящимся.

Ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru является расходящимся.

Ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru называется рядом Дирихле. При a>1 ряд Дирихле сходится, при a<1- расходится.

При a=1 ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Теорема. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru (1)

и

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru (2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru (n= 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Замечание. Этот признак остается в силе, если неравенствo признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru выполняется не при всех признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , а лишь начиная с некоторого номера признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru n=N, т.е. для всех n³N.

Пример 3.Исследовать сходимость ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Решение.Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru составленного из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так как этот ряд сходится, то сходится и заданный ряд.

Теорема. Второй признак сравнения (предельная форма признака сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то оба ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru и признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru одновременно сходятся или расходятся.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Решение.Сравним ряд с гармоническим рядом признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru Найдем предел отношения общих членов рядов:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и заданный ряд.

РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ

Теорема.Если для ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru существует признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то этот ряд сходится при признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru и расходится при признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Замечание. Если С=1, то вопрос о сходимости остается открытым.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Решение.Применим признак Коши. Найдем предел:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Так как С=1/2<1, то ряд сходится.

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

Теорема. Если для ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru существует признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , то этот ряд сходится при признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru и расходится при признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Замечание. Если С=1, то вопрос о сходимости остается открытым.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Решение. Применим признак Даламбера. Имеем: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Найдем предел: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Так как D>1, то ряд расходится.

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ

Теорема. Если признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru при признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , где признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Пример 7. Исследовать сходимость ряда, составленного из обратных квадратов: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Решение. Имеем: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ И

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИХСЯ РЯДОВ

Знакопеременные ряды – это ряды как с положительными, так и с отрицательными членами. К знакопеременным рядам относятся знакочередующиеся ряды и ряды с произвольным чередованием знаков своих членов.

Теорема. Достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда. Знакопеременный ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru сходится, если сходится ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

В этом случае исходный ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru называется абсолютно сходящимся.

Сходящийся ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru называется условно сходящимся, если ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru расходится.

Если ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой перестановки бесконечного множества его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд. Если ряд признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru условно сходится, то при перестановке бесконечного множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соответствующей перестановке членов условно сходящегося ряда его можно превратить в расходящийся ряд.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , где признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru (n= 1, 2, 3, …).

Теорема Лейбница. Признак сходимости знакочередующегося ряда. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие условия: 1) признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru и 2) признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Ряд, удовлетворяющий этим условиям, называется рядом Лейбница.

Возьмем признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru -ю частичную сумму ряда Лейбница:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Пусть признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru - признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и n-й частичной суммой признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru , т.е. признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru или:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru . Это неравенство удобно использовать для оценки погрешности, получаемой при замене суммы S ряда Лейбница ее приближенным значением S@ Sn.

Пример 8. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Решение. Применим признак Лейбница:

1) признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru Первое условие выполняется.

2) признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru Второе условие выполняется.

Следовательно, ряд сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

1,1-1,01+1,001-1,0001+…+(-1)n+1(1+10-n)+…

Решение. Применим признак Лейбница:

1) 1,1>1,01>1,001>1,0001>… Первое условие выполняется.

2) признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru Второе необходимое условие сходимости ряда не выполняется. Следовательно, ряд расходится.

Пример 10. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

1 - 1+1 - 1+…+(-1)n+1+…

Решение. Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится.

Пример 11. Исследовать сходимость знакопеременного ряда: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин: признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru Этот ряд составлен из членов убывающей геометрической прогрессии и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример 12. Исследовать на абсолютную сходимость ряд:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Найти приближенно (с точностью 0,01) сумму этого ряда.

Решение. Так как ряд знакочередующийся, то можно применить теорему Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

1) признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

2) признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Сходимость этого последнего ряда легко обнаружить, если применить признаки сравнения или интегральный признак Коши.

Применим интегральный признак:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится ряд, составленный из абсолютных величин знакочередующегося ряда. Следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Для того чтобы найти сумму заданного ряда с точностью 0,01, надо взять столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01. Для данного ряда модуль четвертого члена 1/63=1/216<0,01, поэтому с точностью 0,01:

признаки сходимости знакопеременных и - student2.ru

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение числового ряда. Какие ряды называются сходящимися и расходящимися?

2. Перечислите основные свойства числовых рядов.

3. Назовите признаки сходимости рядов с положительными членами.

4. Дайте определения знакочередующихся и знакопеременных рядов.

5. Сформулируйте признак Лейбница.

6. Дайте определения абсолютно и условно сходящихся знакопеременных рядов.

7. Сформулируйте достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда.

8. Как можно оценить сумму знакочередующегося ряда с заданной точностью?

ЛИТЕРАТУРА

1. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1991. - 448 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. - М.: Высш. шк., 1980. - 365 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2 – М.: Наука, 1972. - 312 с.

4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. /Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Высш. шк., 1972. - 472 с.

5. Сборник задач по курсу высшей математики. /Под ред. Г.И.Кручковича. - М.: Высш. шк., 1973. - 576 с.

6. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вузов. – М.: Наука, 1989. - 736 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………………..3

1. Основные понятия…………….………………………………………..……...3

2. Основные теоремы о числовых рядах ..……………………………………..4

3. Признаки сходимости рядов с положительными членами …………………5

4. Признаки сходимости знакопеременных и знакочередующихся рядов…...9

5. Контрольные вопросы………………………………………………………...12

Литература……….………………………………………………………………. 13

Наши рекомендации