Комплексный двухкартинный чертеж точки. 3 страница

1) Горизонтальная плоскость, параллельная П₁ и перпендикулярная П₂ и П₃.

2) Фронтальная плоскость, параллельная П₂ и перпендикулярная П₁ и П₃.

3) Профильная плоскость, параллельная П₃ и перпендикулярная П₁ и П₂.

Плоскости уровня можно назвать дважды проецирующими, т. к. каждая из них перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Из проецирующего свойства вытекает, что плоскости уровня проецируются в линии, каждая на двух плоскостях проекций. На рис. 2.47 дано наглядное изображение горизонтальной плоскости уровня Σ. Характерной особенностью чертежей плоскостей уровня является параллельность главной (вырожденной) проекции плоскости одной из осей чертежа. На рис. 2.47 Σ║ П₁ и Σ П₂, Σ П₃. Докажем, что Σ₂║ х₁₂.

Известно, что если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то образуются параллельные прямые. При пересечении П₂ и П₁ образуется ось х₁₂. При пересечении П₂ с Σ образуется ее главная проекция Σ₂. Точно также доказывается, что Σ₃║ у₃.

Горизонтальная плоскость Г (а b) представлена на рис. 2.48, а, фронтальная плоскость Т (а ║ b) - на рис. 2.48, б, профильная плоскость Ω (∆ АВС) - на рис. 2.48, в.

2.4.7. Примеры на инцидентность. Рассмотрим несколько задач на взаимную принадлежность точки и прямой плоскости.

1) Через точку А провести плоскость общего положения Σ (а b), где а ║ П₁ и b ║ П₂ (рис. 2.49, а).

Решение: через точку А(А₁, А₂) проводим проекции горизонтали а ║ П₁ и фронтали b ║ П₂. Возможны и другие варианты. Так, через точку А можно провести горизонталь или фронталь и пересечь ее прямой общего положения. Можно также через точку А провести две прямые общего положения. Однако в этом случае необходимо осуществить проверку на отсутствие в полученной плоскости профильно-проецирующих прямых, наличие которых указывает на получение профильно-проецирующей плоскости.

2) Заключить прямую а(а₁, а₂) общего положения в горизонтально- проецирующую плоскость Σ, задав ее своей главной проекцией Σ₁ (рис. 2.49, б).

Решение: проводим главную проекцию Σ₁ совпадающую с горизонтальной проекцией а₁.

3) Построить горизонтальную проекцию прямой b общего положения, пересекающейся с прямой а, чтобы обе прямые принадлежали горизонтально-проецирующей плоскости Т (рис. 2.49, в).

Решение: проводим фронтальную проекцию прямой b так, чтобы b₂ не была параллельна или перпендикулярна х₁₂, а горизонтальная проекция b₁ совпадала с а₁. Главная проекция Т₁ плоскости Т в этом случае совпадает с горизонтальными проекциями пересекающихся прямых а и b.

4) Пересечь прямую а прямой частного положения d так, чтобы обе прямые были заключены в горизонтально-проецирующую плоскость Г (рис. 2.49, г).

Решение: Прямую а в любом месте пересекаем горизонтально-проецирующей прямой d. Главная проекция Г₁ горизонтально-проецирующей плоскости Г совпадает с горизонтальными проекциями а₁ и d₁ прямых.

5) Заключить прямую а в профильно-проецирующую плоскость Ψ (рис. 2.50, а).

Решение: в простейшем случае пересекаем прямую а профильно- проецирующей прямой b П₃. Две пересекающиеся прямые а и b образуют профильно-проецирующую плоскость Ψ, т. к. если в плоскости имеется перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны между собой.

6) Через точку А провести горизонтально-проецирующую плоскость Σ (рис.2.50, б).

Решение: через точку А₁ произвольно, но не перпендикулярно и не параллельно х₁₂ проводим главную проекцию Σ₁ плоскости Σ.

7) Через точку В провести горизонтальную плоскость уровня Т (рис. 2.50, в).

Решение: через точку В₂ проводим главную проекцию Т₂ плоскости Т параллельно х₁₂.

2.4.8. Параллельность прямой и плоскости. Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости. Пусть, например, через точку М необходимо провести прямую d общего положения параллельно плоскости, заданной в виде треугольника - Σ (АВС) (рис. 2.51).

Решение: в плоскости Σ(АВС) проводим произвольную прямую общего положения ED(E₁D₁, E₂D₂). Далее через точку М₁ проводим горизонтальную проекцию d₁║ E₁D₁ и фронтальную проекцию d₂║E₂D₂ прямой d.

Если через точку К необходимо провести горизонталь b параллельно плоскости Σ (АВС), то построения следует выполнять в следующей последовательности:

1) Строим фронтальную проекцию A₂D₂ горизонтали AD параллельно оси х₁₂.

2) В проекционной связи находим горизонтальную проекцию A₁D₁.

3) Через точки К₁ и К₂ проводим проекции b₁║ A₁D₁ и b₂ ║ A₂D₂ искомой горизонтали b. Следует отметить, что вовсе не обязательно горизонталь проводить через точку А, в чем рекомендуем читателю убедиться.

2.4.9. Параллельные плоскости.Для построения параллельных плоскостей используем признак их параллельности, известный из стереометрии: «Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости».

Пусть требуется через точку К (рис. 2.52) провести плоскость Σ (а b) параллельно плоскости Т (с d). Для решения задачи через точку К проводим а ║ с так, чтобы а₁║ с₁ и а₂║ с₂, и b ║ d, чтобы b₁ ║ d₁ и b₂ ║ d₂.

На рис. 2.53 рассмотрена задача, когда требуется прямые а и b заключить в пару параллельных плоскостей. Условие задачи дано на рис. 2.53, а. Для решения ее возьмем на прямых а и b произвольные точки К и М (рис. 2.53, б). Далее через точку К проводим прямую с ║ b, а через точку М прямую d ║ а. В результате получим параллельные плоскости Σ (а с) и Т (b d), т. к. две пересекающиеся прямые а и с плоскости Σ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым b и d плоскости Т.

2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей проекций.Для того, чтобы построить проекции плоскости при замене плоскости проекций, плоскость должна быть задана тремя точками. При построениях каждая точка, задающая плоскость, преобразуется подобно рассмотренному ранее при замене плоскостей проекций. На рис. 2.54 показано преобразование плоскости при произвольной замене плоскости проекций П₂ на П₄.

Самое сложное положение плоскости в пространстве – плоскость общего положения, более простое – проецирующая плоскость и самое простое - плоскость уровня. При решении задач плоскость обычно ставят из более сложного положения в более простое. Таким образом, ряд преобразований плоскости имеет вид: плоскость общего положения → плоскость проецирующая → плоскость уровня.

Сделаем первое преобра-зование. Пусть дана плоскость общего положения Σ(АВС) (рис. 2.55), и ее необходимо преобразовать во фронтально- проецирующую. В проецирующей плоскости всегда содержится проецирующая прямая. Любую прямую способом замены плоскостей проекций можно преобразовать в проецирующую: прямую общего положения - с помощью двух преобразований, прямую уровня – с помощью одного преобразования.

Для решения задачи выполним первое преобразование. Для этого:

1) В плоскости Σ(АВС) строим горизонталь АЕ (А₂Е₂, А₁Е₁).

2) Ставим АЕ в проецирующее положение, заменив П₂ на П₄ , причем х₁₄ А₁Е₁.

3) Проецируем треугольник на новую плоскость П₄. При этом в системе П₁–П₄ треугольник АВС - проецирующий. Его новая фронтальная проекция А₄В₄С₄ представляет собой прямую.

Выполним второе преобразование. В системе П₁–П₄ (рис. 2.53) Σ (ABC) - фронтально–проецирующая плоскость, и ее необходимо преобразовать в плоскость уровня. Любая плоскость уровня параллельна одной плоскости проекций и перпендикулярна двум другим. В данном случае Σ (АВС) П₄. Поэтому, если заменить П₁ на П₅, поставив П₅ ║ Σ (АВС), то в системе П₄–П₅ плоскость Σ (АВС) станет плоскостью уровня.

Произведем построения. Для этого:

1) Проведем ось х₄₅ ║ Σ₄.

2) В системе П₄–П₅ строим проекции точек А₅, В₅ и С₅. Проекция треугольника А₅В₅С₅ представляет его натуральную величину, т. к. плоскость Σ (АВС) ║ П₅. При преобразовании плоскости общего положения в положение уровня выполнено два последовательных преобразования. Сначала заменена одна плоскость проекций, затем другая.

2.4.11. Классификация поверхностей.Произведем классификацию поверхностей по двум признакам:

По форме образующей:

1) Прямолинейную образующую имеют плоскости, многогранные поверхности и линейчатые кривые поверхности.

2) Криволинейную образующую, неизменяемую и изменяемую, - все остальные кривые поверхности.

По развертываемости поверхности на плоскость:

1) Развертываемые.

2) Неразвертываемые.

Развертыванием называется такая изометрическая деформация поверхности, при которой она может быть совмещена с плоскостью.

Изометрическую деформацию поверхности называют изгибанием. При изгибании отрезки линий, расположенных на поверхности, не меняют своей длины. Если поверхность может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов, то она развертываемая. Большинство поверхностей не совмещаемы с плоскостью без складок и разрывов и называются неразвертываемыми.

Развертываемыми являются многогранные поверхности и часть линейчатых – цилиндрические, конические и торсовые. О развертываемости плоскости говорить не приходится – она может быть совмещена с любой плоскостью.

Рассмотрим особенности построения изображений отдельных видов поверхностей.

2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники. Принято считать ,что многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Поверхностью многогранного угла называется поверхность, ребра и грани которой пересекаются в одной точке (вершине). Если пересечь поверхность многогранного угла плоскостью, то образуется геометрическая фигура – пирамида.

Поверхность многогранного угла можно получить движением образующей прямой, которая все время проходит через вершину угла и в то же время скользит по направляющему многоугольнику.

Если вершину многогранного угла отнести в бесконечность, то ребра поверхности станут параллельными, и образуется призматическая поверхность.

Если ограничить призматическую поверхность двумя параллельными плоскими основаниями, то образуется геометрическая фигура – призма.

Определитель многогранной поверхности включает в себя направляющий многоугольник, вершину для многогранного угла и какое–либо ребро для призматической поверхности.

На рис. 2.56 показана поверхность многогранного угла Ф (ABCD, S) в пространственном изображении с направляющим четырехугольником ABCD и вершиной S. На рис. 2.56, а дан определитель поверхности. На рис. 2.56, б построен каркас поверхности.

+

На рис. 2.57, а показана призматическая поверхность Ф (АВС, l) в пространственном изображении с направляющим треугольником АВС и образующей l; на рис. 2.57, б показана призма.

Определителем пирамиды может быть ее основание и вершина. Определителем призмы – ее основание и одно боковое ребро или одна вершина другого основания.

При изображении многогранников их стараются расположить так, чтобы на проекциях их ребра и грани проецировались по возможности без искажения или с наименьшими искажениями.

Из всего многообразия многогранных поверхностей в качестве примера рассмотрим последовательность построения лишь правильных трёхгранных прямой призмы и пирамиды.

Прямая трехгранная правильная призма. На рис. 2.58, а дано графическое задание призмы Ф (АВС, ) своим определителем. Для того, чтобы получить комплексный чертеж призмы (рис. 2.58, б), необходимо достроить два горизонтально–проецирующих ребра В и С и три горизонтальных ребра верхнего основания , и .

Проведем анализ элементов боковой поверхности призмы.

Боковые ребра – горизонтально–проецирующие прямые. Ребра оснований – горизонтали, из них ребра АС и - профильно–проецирующие прямые.

Боковые грани – горизонтально–проецирующие плоскости, из них грань - фронтальная плоскость. Основания – горизонтальные плоскости. На горизонтальной проекции оба основания и их ребра проецируются в натуральную величину. На фронтальной проекции боковые ребра и задняя фронтальная грань проецируются в натуральную величину.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть дана проекция К₂ точки К. Найти К₁, считая, что точка лежит на видимой грани призмы (рис. 2.58, б).

На фронтальной проекции видны грани и , грань не видна. Поэтому считаем, что точка К лежит на видимой грани , и ее горизонтальная проекция К₁ попадает на вырожденную проекцию грани (проецирующий след грани).

Пусть задана проекция М₁ точки М. Найти М₂, считая, что точка лежит на видимом основании призмы.

(A1)≡

B1≡

(C1)≡

(A1)≡

На горизонтальной проекции видно верхнее основание призмы , а нижнее основание не видно. Поэтому фронтальная проекция М₂ точки будет лежать на фронтальной проекции верхнего основания, слившегося в линию.

Правильная трехгранная пирамида.Определителем пирамиды Ф(АВС,S) служат её основание и вершина (рис. 2.59, а). Соединив вершину S с вершинами основания, получим полный каркас пирамиды. Комплексный чертеж пирамиды, заданный своим каркасом, приведен на рис. 2.59, б.

Проведем анализ элементов боковой поверхности пирамиды. В данной пирамиде все боковые ребра являются прямыми общего положения и проецируются в отрезки, меньшие их натуральных величин.

Боковые грани ASB и BSC являются плоскостями общего положения, а грань ASC – профильно-проецирующей плоскостью, так как она содержит профильно-проецирующее ребро АС.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть задана проекция К₂ точки К. Найти К₁ (рис. 2.59, б). Точка К лежит на видимой грани BSC. Горизонтальную проекцию находим, например, с помощью прямой общего положения, проходящей через точку К и вершину S (построения 1, 2, 3 и 4). Самостоятельно постройте проекцию К₁ на рис. 2.59, а, где каркас пирамиды еще не построен.

Пусть задана проекция М₂ точки М, построить М₁. На фронтальной проекции видны грани ASB и BSC, а грань ASC не видна. Точка М должна лежать на видимой грани ASB.

Проекцию М₁ находим с помощью горизонтали, лежащей в плоскости грани ASB (построения 5, 6, 7 и 8). Фронтальная проекция горизонтали проведена через М₂ параллельно оси х₁₂ до пересечения с А₂S₂ в точке D₂ (построение 5). С помощью линии связи на A₁S₁ находим точку D₁ (построение 6). Проводим горизонтальную проекцию горизонтали параллельно ребру АВ, которое также является горизонталью. Известно, что все горизонтали одной плоскости параллельны (построение 7). Проекцию М₁ с помощью линии связи находим на построенной проекции горизонтали (построение 8).

2.4.13. Поверхности вращения. В соответствии с принятым в начертательной геометрии кинематическим способом образования поверхности, поверхность вращения образуется вращением прямолинейной или криволинейной образующей линии вокруг некоторой оси, как след движущейся линии.

Поверхность вращения может быть задана определителем Ф (i, l), где i – ось вращения, l – образующая (рис.2.60). Тогда при вращения образующей l вокруг оси i получим следующие поверхности: сферическую (рис.2.60, а); коническую (рис.2.60, б); цилиндрическую (рис.2.60, в); торовую (открытую) (рис.2.60, г); торовую (закрытую) (рис.2.60, д).

При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. При вращении точки вокруг оси имеем пять элементов процесса вращения (рис.2.61):

1) вращающаяся точка А;

2) ось вращения i;

3) плоскость вращения Т (проходит через точку А перпендикулярно оси вращения i);

4) центр вращения О (точка пересечения плоскости Т с осью i);

5) радиус вращения R=OA (отрезок, соедияющий центр О с точкой А).

Вращаясь вокруг оси i, точка А описывает окружность, которая полностью лежит в плоскости вращения Т. Враща-ющаяся точка А и ось вращения i всегда известны, либо ими задаются.

Пусть требуется повернуть точку А вокруг оси i на 120⁰ против часовой стрелки (рис. 2.62).

Из пяти элементов процесса вращения точка А и ось i (i ^ П₁) заданы. Строим третий элемент – плоскость вращения Т. Плоскость вращения Т всегда перпендикулярна оси i, следовательно Т||П₁ и Т^П₂.

Плоскость Т – горизонтальная уровня, поэтому ее фронтальная проекция Т₂, сливаясь в линию (проецирующий след плоскости), проходит через проекцию А₂.

Находим четвертый элемент процесса вращения – центр вращения - точку О. Фронтальная проекция центра вращения О₂ находится на пересечении i₂ с Т₂, а горизонтальная О₁ совпадает с i₁.

Пятый элемент процесса вращения – радиус R=OA. Так как фронтальная проекция О₂А₂||x₁₂, то отрезок R=OA, являясь горизонталью, имеет горизонтальную проекцию О₁А₁, равную натуральной величине радиуса вращения (O₁A₁=R).

Окружность вращения расположена в плоскости Т и на П₁ проецируется без искажения. Поэтому проводим окружность радиусом R=O₁A₁ с центром в точке О₁. После поворота А₁ по окружности на 120⁰ против часовой стрелки получаем горизонтальную проекцию точки А в новом положении . Фронтальная проекция повернутой точки находится на пересечении линии связи, проводимой через , и следа Т₂ плоскости Т.

Элементы поверхностей вращения. Рассмотрим основные элементы поверхностей вращения, необходимые при построении проекций тел вращения. Введем понятие тела вращения.

Тело вращения – геометрическая объемная фигура, ограниченная поверхностью вращения. Помимо поверхности вращения тело вращения может иметь одно или два основания.

Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность вращения по окружности, которая называется параллелью (рис. 2.63). Окружности вращения точек, принадлежащих поверхности, являются параллелями. Самая большая параллель называется экватором, самая маленькая – горлом.

Плоскость, проходящая через ось вращения, называется меридианальной. Она пересекает поверхность по линии (кривой или прямой), которая называется меридианом. Можно сказать, что поверхность вращения образуется при вращении меридиана вокруг оси.

Рассмотрим построение проек-ций наиболее распространенных тел вращения (конуса, цилиндра, сферы, тора).

Конус вращения. Имеет определитель вида Ф(i, l), где i – ось вращения, l – образующая. Фронтальная проекция конуса вращения является его фронтальным очерком (рис. 2.64), который представляет из себя проекции S₂A₂ и S₂C₂ образующей в крайних левом и правом положениях относительно наблюдателя. При этом часть поверхности ABCS, обращенная к

наблюдателю, видна, а часть поверхности ADCS не видна. Плоскость основания конуса параллельна П₁. Поэтому фронтальная проекция основания есть прямая A₂C₂, параллельная оси х₁₂ (ось х₁₂ не показана).