Дифференциальное уравнение. Определение решения.

Содержание

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.1.1 Дифференциальное уравнение. Определение решения......4 1.2 Уравнения с разделяющимися переменными......................6

2 Линейные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Примеры.2.1 Линейные диф-ные уравнения первого порядка..................9 2.2 Уравнения Бернулли.............................................................12

Список литературы

3

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Дифференциальное уравнение. Определение решения.

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе.

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные {\displaystyle y'(x),y''(x),...,y^{(n)}(x)} до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

(1)

где y=y(x) {\displaystyle y=y(x)} — неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x. {\displaystyle x,}юю {\displaystyle x.} Число {\displaystyle n}n называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

(2),

где функции определены и неперерывны в некоторой области .

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений.Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ')=0, удовлетворяющего условию y(x₀)= y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие.

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x,y) = C, называется общим интегралом уравнения.

Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x,y) = 0, называется частным интегралом уравнения.

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.

Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y).

Пример:

Решением уравнения

при всех x ≠ 0 является функция

Действительно, подставив выражение для y(x) в левую

и в правую часть уравнения

получили тождественное равенство

справедливое при всех x ≠ 0 и при произвольных значениях константы C.