Задания для самостоятельного решения. Найдите координаты вектора:
I уровень
1.1. Даны векторы
Найдите координаты вектора:
1) 2)
3) 4)
1.2. Даны векторы Определите, при каком значении векторы и коллинеарны.
1.3. Вектор образует с ортом угол α. Вычислите координаты вектора на плоскости, если:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
1.4. Заданы векторы Вычислите:
1) ;
2) орты векторов
3)
4) координаты вектора .
1.5. Вычислите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:
1) 2)
1.6. Найдите угол между векторами:
1) 2)
1.7. Вычислите работу, производимую силой при перемещении ее точки приложения из начала в конец вектора
II уровень
2.1. Известно, что A(2, –7), B(4, 1). Найдите:
1) координаты вектора 2) ;
3) орт вектора
2.2. Даны векторы Определите, при каком значении коэффициента k векторы коллинеарны:
1) и
2) и
3) и .
2.3. Известно, что вектор является суммой векторов Найдите m и n.
2.4. Отрезок с концами в точках А(3, –2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
2.5. Вычислите скалярное произведение векторов и если:
1)
2) .
III уровень
3.1. Сила разложена по двум перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором Найдите направляющую силы в направлении этого вектора.
3.2. Подберите ненулевые числа α, β, γ так, чтобы где
3.3. Даны три вершины А(3, –4), В(–5, 3) и С(1, 2) параллелограмма ABCD. Найдите его четвертую вершину D.
3.4. Даны вершины треугольника А(3, –1), В(4, 2) и С(–4, 0). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А.
3.5. Даны вершины А(1, –1), В(2, 1), С(–5, 2) треугольника АВС. Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
3.6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(3, –2), В(3, 1), С(4, 0). Вычислите расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
3.7. В вершинах треугольника А(1, –1), В(0, 4) и С(2, –1) сосредоточены массы соответственно 1, 2, 3. Найдите координаты центра масс этой системы. (Указание: для пары масс m1 и m2, сосредоточенных в точках А и В, центр находится в точке, делящей отрезок АВ в отношении где l1 и l2 – расстояния от точек с соответствующими массами до их центра).
3.8. Даны векторы Найдите вектор лежащий с векторами и в одной плоскости, перпендикулярный вектору равный ему по длине и образующий с вектором тупой угол.
3.9. Представьте ненулевой вектор в виде линейной комбинации векторов и
Полярная система координат. Способы задания
Кривой на плоскости
Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.
Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: (ρ – полярный радиус, φ – полярный угол). Принято считать, что или а полюс имеет нулевые полярные координаты.
Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:
(13)
(14)
Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ(φ) или Ф(ρ, φ) = 0.
Пример 1. Найти полярные координаты точек
Решение. Точка лежит в 1-й четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π/2, причем согласно первой формуле системы (14) Следовательно, что приводит к . Итак, .
Точка B является внутренней точкой 3-й четверти прямоугольной системы координат, следовательно, (или ). Найдем полярный радиус (используем (14)):
Тогда Значит, или . Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B или .
Рассмотрим точку . Учитывая, что , а значит, , определяем, что точка С лежит во 2-й четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно (14), есть
Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем , затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tgx равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению , получим
Значит, .
З а м е ч а н и е. При использовании формулы при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 9).
Рис. 9
Пример 2. Зная полярные координаты точек , B , , найти их прямоугольные координаты.
Решение. Используя формулы (13), находим прямоугольные координаты заданных точек.
Значит,
Значит, B(–1, 1).
Значит,
Пример 3. Зная полярные координаты точки ρ = 10, , найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А(2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 10). Тогда точка в этой системе координат определена, как М(xM, yM).
Рис.10
Очевидно, что
Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как
Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x2 + y2 = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором где О – центр окружности, М – ее точка.
Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты , Тогда, по определению тригонометрических функций, где . Таким образом, получили параметрические уравнения окружности.
Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат:
1) ρ = 4; 2) ; 3) ρ = 2cosφ.
Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (14).
1. Поскольку . Возводим в квадрат и получаем – уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4.
2. Уравнение означает, что , причем точка с координатами (x, y) лежит в 1-й четверти. Значит, или . Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0).
3. Заданное уравнение запишем в виде . Получили . Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению , которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.