Ряд фибоначчи

Фибоначчи составил такой ряд из натуральных чисел, который впоследствии оказался полезным в науке:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Закон образования членов этого ряда очень прост: первые два члена - единицы, а затем каждый последующий член получается путем сложения двух непосредственно ему предшествующих. Например, 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5 и т. д.
Любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи удовлетворяет одному из уравнений

x² - xy - y² = 1

или

x² - xy - y² = -1

причем большее число является значением неизвестного х, а меньшее - значением неизвестного у. Проверьте это сами. Это первый вопрос домашнего задания.

Ряд Фибоначчи известен не только математикам, но и природоведам.
Если листья на ветке сидят одиноко, то они всегда располагаются кругом стебля, но не по окружности, а по винтовой линии, то есть каждый последующий лист повыше и в сторону от предыдущего. При этом для каждого вида растений характерен свой угол расхождения двух соседних листьев, который, как утверждают ботаники, выдерживается более или менее точно во всех частях стебля. Этот угол обычно выражают дробью, показывающей, какую часть окружности он составляет. Так, у липы и вяза угол расхождения листьев составляет 1/2 окружности; у бука 1/3, у дуба и вишни 2/5, у тополя и груши 3/8, у ивы 5/13 и т. д. Тот же угол у данного вида растений сохраняется также и в расположении веток, почек, чешуек внутри почек, цветов.
Наиболее распространены среди растений следующие углы расхождения (в частях окружности):

Ряд числителей и ряд знаменателей здесь - числа Фибоначчи, причем каждая из дробей (начиная с третьей) получается из двух предыдущих путем сложения их числителей и знаменателей. Проверка этого свойства - второй вопрос домашнего задания.