Визначення арифметичних дій над додатними раціональними числами

Додавання невід’ємних раціональних чисел

1. Означення дії додавання дробових чисел. Нехай маємо два раціональних числа r₁ і r₂, виражені дробами з різними чисельни­ками і однаковими знаменниками:

і

Їх можна розглядати як міри довжин двох відрізків b і с при одній одиниці вимірювання, або як числові характеристики мно­жини , що містить а₁ n-хчасток деякого одиничного елемента, і множини , що містить а₂ таких самих n-х часток.

Додаючи ці два відрізки або об’єднуючи ці дві множини, дістаємо відрізок b+c або нову множину n-х часток деякого одиничного елемента. Ця нова множина буде містити елементів, тобто n-х часток, отже, вона характеризуватиметься дробовим числом яке природно назвати сумою чисел і , тобто

Аналогічні міркування можна провести і на випадок кількох, наприклад k, доданків.

Означення.Сумою двох (або кількох) дробових чисел з однакови­ми знаменниками є дробове число, чисельником якого є сума їх чисель­ників, а знаменником — їх спільний знаменник:

Означення.Сумою невід’ємних раціональних чисел і називається число тобто:

Візьмемо два будь-які натуральні числа а і с та зобразимо їх у вигляді дробів із знаменниками 1, тоді, за означенням додаванні дробів, матимемо

Зобразимо тепер а і с у вигляді дробів із знаменниками b і d і застосуємо правило додавання дробів з різними знаменниками:

Звідси видно, що означення суми раціональних невід’ємних чисел є узагальненням означення суми натуральних чисел.

Наприклад. 5 + 3 = 8;

Мішані числа

Означення.Сума натурального і дробового чисел, записаних поряд без знака додавання, називається мішаним числом.

Наприклад. – мішане число.

Для того, щоб подати неправильний дріб, більший від одиниці, у вигляді мішаного числа, треба чисельник дробу поділити на знаменник; в частці дістанемо число цілих одиниць, а в остачі — число відповідних часток одиниці.

Наприклад. – мішане число.

І навпаки, щоб подати мішане число у вигляді неправильного дробу, треба цілу частину помножити на знаменник дробової частини і додати чисельник, одержаний результат взяти чисельником і підпи­сати знаменник дробової частини.

Наприклад.

Віднімання невід’ємних раціональних чисел

Як і для натуральних чисел, віднімання невід’ємних раціональ­них чисел – дія, обернена додаванню.

Означення.Відняти від раціонального числа число , або знайти різницю означає знайти таке число щоб задовольнялась умова

Множення невід’ємних раціональних чисел

Як відомо, множення цілого невід’ємного числа на натуральне число, більше за 1, зводиться, за означенням, до додавання рівних доданків:

при п = 1 а · 1 = а; при п = 0 а · 0 = 0.

Ці означення поширюють і на випадок множення дробового чис­ла на натуральне число п.

Означення.Добутком дробового числа на натуральне число п > 1 називається сума п доданків, кожний з яких є .

Отже,

Наприклад.

Означення.Добутком невід’ємних раціональних чисел, поданих у вигляді дробів і , називається число, зображене дробом, чисельником якого є добуток чисельників даних дробів, а знаменником — добуток знаменників:

Це означення поширюється і на випадок, коли один чи обидва співмножники є цілі числа, зокрема нуль або 1. Тоді:

Означення.Два числа, добуток яких дорівнює 1, називаються взаємно оберненими.

Число 1 обернене самому собі, бо 1 · 1 = 1.

Натуральне число п має обернене число бо Отже, п і - пара взаємно обернених чисел.

Число має обернене , бо Отже, і - пара взаємно обернених чисел.

Нуль не має оберненого числа, бо не існує такого числа, яке б при множенні на нуль дало 1.