Общие принципы моделирования

Моделированием мы будем называть формулирование математической модели. Математическая модель дает приблизительное описание явлений, происходящих в измерительных системах (ИС). Вышеприведенное определение рассматрива­ется как аксиома.

Математическая модель — это определение, которое расширяет понятие физического закона. Обнаружение явлений случайного характера привело к заключению о том, что связи между физическими величинами не вполне однозначны, а имеют стохастический характер. Уравнения, описывающие такие связи,— это не законы, а математические модели.

Различают моделирование сигналов и моделирование систем. В метрологии рассматриваются заданные и случайные сигналы. Они представляются в зависимости от времени и частоты.

Понятие сигнала обычно ассоциируется с физической величиной, являющейся носителем энергии. Сигналом может быть также величина, не являющаяся носителем энергии, но характеризующая состояние материи. Между моделями сигнала и измерительной системы существует определенная взаимосвязь; модель ИС устанавливает связи между сигналами.

ИС состоит из элементов двух родов:

1. Активные элементы, генерирующие физические величины, — носители энергии; эти элементы характеризуются одной, двумя либо большим числом физических величин.

Примеры активных элементов: электрические аккумуляторы; питатели; источники света электромагнитного и корпускуляр­ного излучения; массы, находящиеся в гравитационном поле; сжатый воздух; усилители электрических сигналов, пневматических импульсов и т. д.

2. Пассивные элементы, свойства которых зависят от состояния материи и выражаются величинами, не являющимися носителями энергии.

Примеры пассивных элементов: механические конструктивные элементы, характеризующиеся размерами, массой, свойствами этих элементов; оптические элементы — фильтры, призмы, линзы, зеркала; электрические элементы — сопротивления, конденсаторы, катушки, молекулярные сита и т. д.

Если ИС построена из разнородных элементов, это затрудняет моделирование.

Моделирование в метрологии отличается от моделирования, применяемого в других науках, следующими факторами:

1. Специфична цель формулирования моделей, вызванная потребностью количественной оценки явлений и идентификации неизвестных свойств элементов.

2. Требуется значительно более высокая точность моделирования, для чего в ИС приходится использовать такие явления или элементы, модели которых известны достаточно точно.

3. Математическая модель ИС всегда определима, т. е. устройство с неизвестной моделью не может быть использовано как средство измерения.

4. Кроме самой модели в метрологии всегда определяется также ее точность.

Рассмотрение этих факторов удобнее начать с п.3 и п.4.

ИС как систему характеризуют входы и выходы. Входным сигналом является состояние измеряемой величины, вводимой в ИС. Входами служат также воздействующие величины, характеризующие условия работы ИС. Выходом является показание прибора либо состояние выходных величин, доступных органам чувств человека. В системной интерпретации различных явлений формулируются три задачи:

1) известны вход и модель системы — нужно определить выход;

2) известны вход и выход — нужно построить модель;

3) известны модель и выход — нужно определить вход.

Так вот, каждое измерение — это решение третьей задачи.

Для того чтобы на основе состояния выхода воссоздать состояние измеряемой входной величины, необходимо знать модель. Нас интересует модель типа «вход-выход ИС».

Для метрологии фундаментальным свойством является однозначность отображения, а также границы неоднозначности такого отображения. Это связано с целью формулирования модели и возможностью воспроизведения состояния входа.

Требование максимальной точности модели ИС объясняется тем соображением, что ИС используются для идентификации моделей других устройств и изучения различных явлений. Погрешность модели ИС увеличивает недостоверность модели исследуемого явления. В метрологии используются явления, которые описываются с точностью до 10^-2–10^-6, а в случае некоторых величин и эталонов — с точностью до 10^-8–10^-12. Никакие другие явления и устройства не моделируются с такой точностью.

Человек своими органами чувств воспринимает лишь некоторые явления. Поэтому для восприятия обычно применяются измерительные средства, которые, реагируя на исследуемое явление, преобразуют измеряемую характеристику х в величину, доступную органам чувств человека. Таким образом, измеряемая величина х является входной величиной ИС, тогда как выходная величина у, будучи отображением измеряемой величины, воспринимается наблюдателем (человеком).

Поскольку ИС нужна для измерения величины х, а не выходной величины у, то приходится устанавливать отображение состояний у в значениях измеряемой величины х; это отображение обозначено символом х*.

В ИС происходят следующие преобразования, представленные на рис. 3.1 (для описания применена двойная символика, принятая в гл. 1 и использованная в последующих главах).

1. Состояния α_χ измеряемой величины х в состояние а_y выходной величины у измерительной системы,

а_x а_y либо х у.

Здесь отображение осуществляется посредством физического преобразования, описываемого уравнением преобразования

a_y=F(a_x) либо y=F(x). (3.1)

2. Состояния a_y выходной величины у в значение b_y* этой величины,

а_y by* либо у y*.

Такое преобразование рассматривается в гл. 1, а функция отображения записывается в виде b*=f(a).

3. Значения b_y* выходной величины у ИС в значение b* измеряемой величины х,

b_y* b_x* либо у* х*.

Рис. 3.1. Структура математической модели ИС:

а — формальные отображения; б — реализованные отображения; в — общая модель

Это отображение, реализованное в сфере абстракции, получается с помощью процедуры воспроизведения значения измеряемой величины на основе значения выходной величины,

b_x^*=f ^*-1 (b_y^*) либо x^*= f ^*-1 (y^*). (3.2)

Приведенные выше преобразования можно записать сов­местно, а именно:

b_x^*= f ^*-1{f_y[F(a_x)]}(3.3a)

либо

x^*= f ^*-1{f_y[F(x)]}(3.3б)

Поскольку измерительная шкала измеряемой величины определяется функцией f_x, как в (1.29),

b_x=f_x(a_x) либо x^*=f_x(x),

то должно выполняться равенство

f ^*-1 [f_y(F)]=f_x (3.4a)

или

f ^*-1f_yF=f_x , (3.4б)

где f, f ^{*-1, F}— функции или операторы.

Вышеприведенную взаимосвязь можно интерпретировать двояко:

1. Шкала f_x величины х, измеряемой данной ИС, зависит от шкалы f_y выходной величины у и от математической модели ИС. Путем подбора свойств элементов ИС, описываемых моделью F, а также процедуры воспроизведения измеряемой величины f^-1* эту шкалу можно сформировать по-разному.

2. Поскольку шкалы f_x, f_y измеряемой величины х и выходной величины у приняты повсеместно (метрические шкалы), то условием правильного измерения (для f_x=f_y=f) является такая процедура отображения f ^-1*, при которой

f ^*-1fF=f , (3.4в)

f ^*-1=F^-1 (3.4г)

в случае линейных операторов.

На практике применяется понятие процедура градуировки,согласно которому состояниям а_y выходной величины у измерительной системы придается мера b_x^* измеряемой величина х, т. е. процедура градуировки описывает (совместно) два пос­ледних отображения, представленных на рис. 3.1а:

a_y b_x^* либо y х^*.

Это функция или оператор f ^-1, значит (рис. 3.1. б)

b_x^* = f ^-1 (α_y) либо х^* = f ^-1 (у). (3.5)

С учетом того, что физическое преобразование x y^* в ИС описывается оператором F (3.1), получаем

b_x^* = f ^-1 [F(a_x)](3.6а)

либо

x^*= f ^-1 [F(x)] . (3.6б)

Область определения отображения (3.6) — действительность, в которой существуют состояния а_x измеряемой характеристики х, а область значений — числовая ось, на которой стрелка или другого типа индикатор отмечает значение b_x^* измеряемой величины х.

В целом отображения типа (3.3) и (3.6) называются математической моделью ИС. Эта модель слагается из трех или двух частей, представленных на рис. 3.1, α и б. Первая часть описывает действие технического устройства, в которое введена измеряемая величина х;характерное состоя­ние у этого устройства может быть непосредственно либо косвенно воспринято человеком.

Вторая часть модели ИС по рис. 3.1, б — процедура градуировки, после выполнения которой устройство становится измерительной системой.

Результат действия ИС искажен погрешностью

D= x* - x 0.(3.7)

Одна из причин появления погрешностей — влияние условий среды на свойства ИС, описываемые уравнением преобразова­ния (3.1). Условия среды характеризуют воздействующие величины, такие как температура, напряжение питания, влажность, местоположение и т. п., обозначаемые в общем виде символами x₁,x₂,…,x_m-1. Обозначая, кроме того, измеряемую величину x=х_т, получаем в итоге т входных величин, как это показано на рис. 3.1,в. Выходной величиной является показание ИС, считываемое в значениях х* измеряемой величины (это показа­ние можно обозначить символом у).

Изменчивость воздействующих величин вызывает неоднозначность зависимости y=F(x) и ввиду этого — возникновение погрешностей (3.7).