Метод замены переменных при интегрировании с демонстрацией на конкретных примерах

Условный экстремум функции нескольких переменных. Определение и методы вычисления на примерах.

Точка М(х_о,у_о) называется точкой условного max (min) ф-и z=f(x,y), при условии g(x,y)=C, если сущ-ет такая окрестность этой точки, что во всех точках (х,у) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x,y)=C, выполняется неравенство .

Уравнение g(x,y)=C называется уравнением связи.

Метод множителей Лагранжа основан на том, что точка условного экстремума (x_о,y_о) ф-и z=f(x,y) при условии g(x,y)=C соответствует точке экстремума (x_o,y_o,λ_o) ф-и L(x,y,λ)=f(x,y)+λ[g(x,y) – C]. Ф-я L называется ф-ей Лагранжа, а λ – множителем Лагранжа.

Например,

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.

Ф-я F(x) в данном промежутке называется первообразной для ф-ии f(x), если во всем этом промежутке f(x) явл производной для ф-ии F(x): F’(x)=f(x).

Если в некотором конечном (или бесконечном), замкнутом (или нет) промежутке Х ф-я F(x) явл первообразная для f(x), то и ф-я F(x)+C, где С-const. так же будет первообразной для f(x).

Каждая ф-я, первообразная для f(x), в промежутке Х может быть представлена в форме F(x)+C.

Совокупность всех первообразных для f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается .

f(x) – подынтегральная ф-я

Таблица основных интегралов

1)	=	С	10)	=	–ctg x+C
2)	=	x+C	11)	=	tg x+C
3)	=		12)	=
4)	=		13)	=	sh x+C
5)	=		14)	=	ch x+C
6)	=		15)	=	–cth x+C
7)	=		16)	=	th x+C
8)	=	–cos x+C	17)	=	ex+C
9)	=	sin x+C

Вычисление интегралов с помощью использования таблицы простейших интегралов, основных свойств и правил называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла с доказательством и простейшие правила интегрирования.

Свойства:

1)

2)

3)

Правила:

1) С – const (C не равно 0)

2)

3)

Вычисление интегралов с помощью использования таблицы простейших интегралов, основных свойств и правил называется интегрированием.

Метод замены переменных при интегрировании с демонстрацией на конкретных примерах.

Метод замены переменной (метод подстановки) – один из основных методов интегрирования, описываемый следующей формулой: , где ф-я x=φ(t) имеет непрерывную производную на рассматриваемом промежутке.

Новую переменную можно не вписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании ф-и под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).

Интегрирование путем замены переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок 2х видов:

1) x=φ(t), где φ(t) – монотонная непрерывная дифференцируемая ф-я новой переменной t.

dx=φ’(t)dt,

2) t=ψ(x),

Замечание. При выборе подстановки t=ψ(x), упрощающей подынтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель ψ’(x)dx, дающий дифференциал новой переменной dt: ψ’(x)dx=dt.

Например:

1.

2.

3.