Методика выполнения типовых задач. Рассмотрим методику расчета показателей вариации на конкретных примерах.

Рассмотрим методику расчета показателей вариации на конкретных примерах.

Пример 4.12 Имеются следующие данные о распределение учителей средних школ района по стажу работы:

Стаж работы, лет
Число учителей в % к итогу

Определите: а) среднее арифметическое; б) размах вариации; в) среднее линейное отклонение.

Решение:

Определим среднюю величину:

Средний стаж работы учителей 10 лет.

Размах вариации определяется по формуле:

, х_max = 12 лет – максимальное значение варианты х;

x_min = 8 лет –минимальное значение варианты х.

тогда

Среднее линейное отклонение по формуле:

Для упрощения расчетов составим расчетную таблицу:

Стаж работы, лет (х)	Число учителей в % к итогу (f)
			-2
			-1
Итого				-

Среднее линейное отклонение стажа работы учителей средних школ района

Пример 4.13 Имеются следующие данные о распределении рабочих по тарифным разрядам:

Тарифный разряд
Число рабочих

Определите: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации.

Решение:

Для расчета вариации необходимо предварительно определить среднюю величину.

Представим необходимые расчеты в таблице:

Тарифный разряд, (х)	Число рабочих, чел. (f)
			-2,5	6,25	6,25
			-1,5	2,25	4,5
			-0,5	0,25	1,5
			0,5	0,25
			1,5	2,25	6,75
Итого

Определим дисперсию:

Определим среднее квадратическое отклонение:

Определим коэффициент вариации:

Пример 4.14 Имеются следующие данные о распределение магазинов города по товарообороту

Группы магазинов по величине товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
90 – 100
100 – 110
110 – 120
120 – 130
130 – 140
Итого

Определите: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации. На основе имеющихся данных построить теоретическую кривую нормального распределения.

Решение:

При расчете показателей вариации по интервальным рядам распределения необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальнейшие расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискретный ряд распределения. Результаты вспомогательных расчетов содержатся в таблице:

Группы магазинов по величине товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов (f)	Середина интервала, тыс. руб. (х)
40 – 50				-49,2	2420,6	4841,3
50 – 60				-39,2	1536,6	6146,6
60 – 70				-29,2	852,64	5968,5
70 – 80				-19,2	368,64	3686,4
80 – 90				-9,2	84,64	1269,6
90 – 100				0,8	0,64	12,8
100 – 110				10,8	116,64	2566,1
110 – 120				20,8	432,64
120 – 130				30,8	948,64	5691,8
130 – 140				40,8	1664,6	4993,9
Итого

Средний размер товарооборота определяется по средней арифметической взвешенной и составляет:

Дисперсия товарооборота

Среднее квадратическое отклонение товарооборота определяется как корень квадратный из дисперсии:

Определим коэффициент вариации:

Коэффициент вариации равен 21,2%, что меньше 33%, следовательно, рассчитанную среднюю можно считать надежной.

Индексы

В практике статистики индексы наряду со средними величинами являются наиболее распространенными статистическими показателями. С их помощью характеризуется развитие национальной экономики в целом и ее отдельных отраслей, анализируются результаты производственно-хозяйственной деятельности предприятий и организаций, исследуется роль отдельных факторов в формировании важнейших экономических показателей, выявляются резервы производства, индексы используются также в международных сопоставлениях экономических показателей, определении уровня жизни, мониторинге деловой активности в экономике и т.д.

Индекспредставляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или с планом.

Индекс представляется коэффициентом или в процентах и показывает, во сколько раз (значение коэффициента), на сколько процентов (значение индекса в процентах минус 100%) или на сколько единиц (числитель индекса минус знаменатель) изменился рассматриваемый показатель. Чтобы выразить индекс в процентах, коэффициент умножают на 100.

В таблице 4.5 представлены основные виды индексов и их характеристика.

Показатель, изменение которого отслеживается индексом, называется индексируемым. Например, индекс цены показывает изменение цены определенного товара или группы товаров.

Индивидуальный индекс обозначается буквой i со знаком индексируемого показателя. Все остальные индексы обозначаются буквой I со знаком индексируемого показателя.

Индекс - относительный показатель, поэтому всегда представлен дробью. В числителе индекса записывается значение индексируемого показателя в отчетном периоде (p₁, q₁), в знаменателе - значение базисного (предшествующего) периода (р₀, q₀).

Таблица 4.5 – Основные виды индексов и их характеристика

Признак	Вид и характеристика
По объекту исследования	Индивидуальные	Характеризует изменение только одного элемента совокупности (например, цену на автомобиль Лада «Калина»)
Групповые	Описывает изменение при охвате не всех, а части единиц разнородной совокупности (например, цены на автомобили, выпускаемые Автовазом)
Общие	Отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления (например, цены на российском рынке автомобилей)
По базе сравнения	Базисные	В базисных индексах фактический показатель отчетного периода сравнивается со сколь угодно отдаленным базисным периодом (цена товарооборота в феврале марте, апреле, мае и т.д. сопоставляется с ценой января).
Цепные	Цепные индексы отражают изменение показателя по сравнению с предшествующим периодом: цена товара в феврале сравнивается с ценой января; цена марта - с ценой февраля; цена апреля - с ценой марта и т.д.
По виду объекта сравнения	Динамические	Позволяют оценить изменение явления во времени.
Территориальные	Применяются для межрегиональных сравнений, например цены на определенный товар в одной стране сравниваются с ценами в другой стране.
Нормативные	Характеризуют состояние явления на данный текущий период в сравнении с установленным планом (нормой, стандартом).
В зависимости от содержания и характера индексируемого показателя	Индексы количественных показателей	Например, индексы физического объема продукции, физического объема потребления и т.д. Индексируемой величиной в таких индексах является объемный показатель, измеряемый в натуральных единицах.
Индексы качественных показателей	Например, индексы цен, себестоимости, трудоемкости, производительности труда, фондоотдачи и т.п. Индексируемой величиной в индексах качественных показателей является уровень явления в расчете на единицу совокупности.

Если индекс нормативный, то знаменатель представлен нормативным (плановым) значением индексируемого показателя. В территориальных индексах показатели числителя и знаменателя относятся к одной единице, но разным территориям.

Индивидуальный индекс динамики цены определенного товара:

(4.8)

Где p₁ – цена отчетного периода; р₀ – цена базисного (предшествующего) периода.

Индивидуальный индекс динамики физического объема (продукции, товарооборота и т.д.):

(4.9)

где q₁ - количество отчетного периода; q₀ - количество базисного (предшествующего) периода.

Если индексируемый показатель стоимостной (например, произведение цены на количество), то алгоритм расчета индивидуального индекса остается прежним, но в числителе и знаменателе указываются произведения отчетных и базисных показателей.

Индивидуальный индекс стоимости продаж определенного товара (товарооборота в фактических ценах), например, имеет вид:

(4.10)

где p₁q₁ – товарооборот в стоимостном выражении в отчетном периоде; p₀q₀ – товарооборот в стоимостном выражении в базисном периоде.

Между индивидуальными индексами существует та же связь, что и между индексируемыми показателями.

Если стоимость pq равна произведению цены р на количество q, то:

(4.11)

Связь индексов используется для проверки выполненных расче­тов, а также для приближенного расчета любого третьего индекса по известным двум.

Агрегатные индексы являются основной формой общего индекса. Свое название они получили потому, что характеризуют не отдельные единицы, а их группы (агрегаты).

В современной отечественной и зарубежной статистике агрегатные общие индексы представляют собой дробь, в числителе и знаменателе которой производится суммирование произведений. Произведений столько, сколько разноименных единиц входит в изучаемый агрегат. Первым сомножителем каждого произведения является индексируемый показатель, характеризующий единицу агрегата: в числителе – отчетного периода, в знаменателе – базисного. Второй сомножитель – вес индексируемого показателя конкретной единицы (соизмеритель). Он одинаков для числителя и знаменателя и определяется видом индексируемого показателя (количественный или качественный).

Рассмотрим пример с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим общий индекс товарооборота:

, (4.12)

где р₁ – цена одноименной единицы продукции (товара) в отчетном периоде;

где q₁ – количество одноименных единиц продукции (объем продаж одноименного товара) в отчетном периоде;

р₁q₁ – стоимость выпуска одноименной продукции в отчетном периоде (товарооборот одноименного товара в отчетном периоде);

∑p₁q₁ – стоимость выпуска разноименной продукции в отчетном периоде (товарооборот разноименных товаров в отчетном периоде);

q₀ – количество одноименных единиц продукции (объем продаж одноименного товара) в базисном периоде;

р₀ – цена одноименной единицы продукции (товара) в базисном периоде;

p₀q₀ – стоимость выпуска одноименной продукции в базисном пе­риоде (товарооборот одноименного товара в базисном периоде);

∑p₀q₀ – стоимость выпуска разноименной продукции в базис­ном периоде (товарооборот разноименных товаров в базисном пе­риоде);

На величину данного индекса оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне.

Если зафиксировать соизмеритель в отчетном периоде получим формулу расчета общего индекса цен по методу Пааше:

(4.13)

Если зафиксировать соизмеритель в базисном периоде получим формулу расчета общего индекса цен по методу Ласпейреса:

(4.14)

Числитель индекса по методу Пааше содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен.

Третьим индексом в данной индексной системе является общий индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения. Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне.

Общий индекс физического объема реализации по методу Пааше рассчитывается по формуле:

(4.15)

Общий индекс физического объема реализации по методу Ласпейреса рассчитывается по формуле:

(4.16)

Выбор конкретной формулы общего индекса зависит от целей исследования и имеющихся исходных данных. В отечественной практике для расчета индекса количественного показателя чаще используют формулу Ласпейреса, качественного – Пааше.

Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:

(4.17)

Необходимо отметить для применения этой взаимосвязи важно, что бы индексы рассчитывались по одному методу.

В экономико-статистическом анализе приходится сравнивать в динамике такие обобщающие характеристики качественных показателей как средняя цена, средняя себестоимость, средняя производительность труда и др. Так как на динамику средней влияют не только изменения осредняемого признака, но и изменения состава рассматриваемой совокупности, влияние каждого из этих факторов оценивается посредством общих индексов средних величин. Например, средняя заработная плата работников предприятия может изменяться в результате изменения ставок заработной платы у отдельных категорий работников и в результате изменения удельного веса работников с различным уровнем оплаты труда. Такие индексы образуют индексную систему, которая для качественных показателей состоит из трех элементов:

– индекс переменного состава;

– индекс фиксированного (постоянного) состава;

– индекс структурных сдвигов.

Индекс переменного состава показывает относительное изменение рассматриваемого среднего уровня признака в целом за счет двух факторов – изменения индексируемого признака и изменения в структуре совокупности:

(4.18)

где х – вид рассматриваемого признака (цена, себестоимость, производительность труда и т. п.);

– средние признаки соответственно в текущем и базисном периодах;

– веса признака в сопоставляемых периодах.

Индекс фиксированного состава характеризует измене­ние среднего уровня за счет изменения только индексируемой ве­личины (соизмерители неизменны) при той же структуре совокуп­ности:

(4.19)

Индекс структурных сдвигов показывает изменение среднего уровня за счет изменений в структуре совокупности при неизменном значении признака:

(4.20)

Формулы для средних индексов подчиняются принципу взаимозависимости, который обеспечивает их сведение в индексную систему:

(4.21)

С использованием этой формулы по двум известным индексам можно рассчитать третий.

Применительно к изучению товарооборота эта система примет следующий вид:

– индекс цен переменного состава ;

– индекс цен фиксированного состава ;

– индекс структурных сдвигов .