Указания к выполнению контрольной работы

При выполнении и оформлении контрольной работы по элементам теории вероятностей студент должен придерживаться следующих правил:

1) в заголовке контрольной работы должны быть ясно выписаны фамилия студента, его инициалы, номер задания;

2) контрольную работу следует выполнять в тетради, обязательно чернилами (не красными), с оставлением полей для замечаний преподавателя;

3) решения контрольных задач и задач для самостоятельного изучения следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях; перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие.

4) графики следует выполнять с использованием карандаша и линейки;

5) в графическом изображении необходимо отразить название графика и подписи по осям;

6) в работе следует записывать полное решение.

Контрольная работа, выполненная небрежно, без промежуточных вычислений, с пропуском задач и без соблюдения изложенных выше правил, возвращается обратно для переработки. Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, не проверяется. Номер варианта соответствует последней цифре номера студенческого билета.

Варианты контрольной работы

Вариант 1

1. В пенале 14 карандашей, из них 6 цветных. Наугад достали 4 карандаша. Найти вероятность того, то среди них нет цветных.

2. В ящик, содержащий 4 шара, добавили 4 белых шара, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету.

3. Три лампочки включены последовательно в цепь. Вероятность перегорания любой из них равна 0,5. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

4. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Х	-2
Р	0,1	0,3	0,6

Найти дисперсию случайной величины 3Х.

5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12;14).

Вариант 2

1. В конверте 10 фотокарточек, среди них 6 нужных. Наугад достали 4 фотокарточки. Найти вероятность того, что среди них 3 нужных.

2. В ящик, содержащий 2 шара, добавили 6 белых шаров, после чего из него наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету.

3. Вероятность одного попадания в цель при залпе из 2-х орудий равна 0,44. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле 1-ым орудием, если для 2-го эта вероятность равна 0,8.

4. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Х	-1
Р	0,1	a	b

Найти a и b, если ее математическое ожидание равно 3,3.

5. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Чему равна вероятность Р(0,5<Х<1)?

Вариант 3

1. В ящике 12 мышей, среди них 4 белых. Наугад достали 4 мыши. Найти вероятность того, что все они белые.

2. В ящик, содержащий 3 шара, добавили 3 белых шара, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету.

3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при 3-х выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Х	-1
Р	0,1	0,3	a

Найти математическое ожидание случайной величины Y=2X.

5. Случайная величина Х задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате величина Х примет значение, заключенное в интервале (0;1/3).

Вариант 4

1. На клумбе растут 20 астр, из них 6 белых. Наугад сорвали 4 астры. Найти вероятность того, что среди сорванных астр 2 белые.

2. В ящик, содержащий 2 шара, добавили 2 белых шара, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету.

3. Вероятность поражения цели при выстреле из одного орудия равна 0,7. Найти вероятность поражения цели при залпе из 3-х орудий.

4. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Х	-3
Р	0,1	0,2	a	b

Найдите a и b, если ее математическое ожидание равно 2,5.

5. График функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (-1;3), имеет вид:

Найти математическое ожидание Х.

Вариант 5 1. У кошки 8 котят, среди них 4 белых. Наугад взяли 4 котят. Найти вероятность того, что все они белые. 2. В ящик, содержащий 5 шаров, добавили 2 белых шара, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету. 3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х
P	0,15	0,25	?	0,5

4. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при 3-х выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 8 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12;14).

Вариант 6 1. В пакете 16 конфет, среди них 6 шоколадных. Наугад достали 4 конфеты. Найти вероятность того, что среди них 3 шоколадные. 2. В ящик, содержащий 2 шара, добавили 7 белых шаров, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету. 3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при 3-х выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. 4. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Х	-1
Р	а	0,1	b

Найти a и b, если ее математическое ожидание равно 3,3.

5. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Чему равна вероятность Р(0,5<Х<1)?

Вариант 7 1 В корзине 14 яблок, среди них 4 красных. Наугад достали 4 яблока. Найти вероятность того, что все они красные. 2. В ящик, содержащий 3 шара, добавили 5 белых шаров, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету. 3. 3 лампочки включены последовательно в цепь. Вероятность перегорания любой из них равна 0,5. Найти вероятность то, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет. 4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Х	-1
Р	0,1	0,3	a

Найти математическое ожидание случайной величины Y=2X.

5. Случайная величина Х задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате величина Х примет значение, заключенное в интервале (0;1/3).

Вариант 8 1. В группе 15 студентов, среди них 5 отличников. Наугад отобрано 4 студента. Найти вероятность того, что среди них 2 отличника. 2. В ящик, содержащий 2 шара, добавили 4 белых шара, после чего наугад достали 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету. 3. Вероятность поражения цели при выстреле из одного орудия равна 0,7. Найти вероятность поражения цели при залпе из 3-х орудий. 4. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Х	-3
Р	а	0,3	0,1	b

Найдите a и b, если ее математическое ожидание равно 2,5.

Найти математическое ожидание Х.

Вариант 9

1 В конверте 9 лотерейных билетов, среди них 6 выигрышных. Наугад достали 3 билета. Найти вероятность того, что все они выигрышные.

2. В ящик, содержащий 3 шара, добавили 6 белых шаров, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету.

4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Х	-1
Р	а	0,2	0,1

Найти математическое ожидание случайной величины Y=2X.

5. Случайная величина Х задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате величина Х примет значение, заключенное в интервале (0;1/3)

Вариант 10

1. В корзине 17 грибов, среди них 10 белых. Наугад достали 4 гриба. Найти вероятность того, что все они белые.

2. В ящик, содержащий 5 шаров добавили 3 белых шара, после чего из него наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету.

3. 3 лампочки включены последовательно в цепь. Вероятность перегорания любой из них равна 0,5. Найти вероятность то, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

4. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Х	-3
Р	а	0,2	b	0,2

Найдите a и b, если ее математическое ожидание равно 2,5.

Найти математическое ожидание Х.

Приложения

Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)

Число степеней свободы	Уровень вероятности р (%)
95%	98%	99%
	0,997	0,999	0,999
	0,950	0,980	0,990
	0,878	0,934	0,959
	0,811	0,882	0,917
	0,754	0,833	0,874
	0,707	0,789	0,834
	0,666	0,750	0,798
	0,632	0,716	0,765
	0,602	0,885	0,735
	0,576	0,858	0,708
	0,553	0,634	0,684
	0,532	0,612	0,661
	0,514	0,592	0,641
	0,497	0,574	0,623
	0,482	0,558	0,606
	0,468	0,542	0,590
	0,456	0,528	0,575
	0,444	0,516	0,561
	0,433	0,503	0,549
	0,423	0,492	0,537
	0,381	0,445	0,487
	0,349	0,409	0,449

Библиографический список

1. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман; - М.: Юрайт-Издат; серия: Бакалавр. Базовый курс, 2013. – 479 с.

2. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие / В.Е. Гмурман; - М.: Юрайт Издат; серия: Бакалавр. Прикладной курс, 2014. - 418 с

3. Федькина Т.В. Использование математических методов в животноводстве и ветеринарии: учеб.-метод. пособие. – М. : ФГОУ ВПО МГАВМиБ им. К. И. Скрябина, 2010. – 93 с.

4. Джугели Т.П., Кутликова И.В., Федькина Т.В. Статистическая обработка экспериментальных данных: Методические указания. – М.: ФГОУ ВПО МГАВМиБ им. К.И.Скрябина, 2007, 54 с.

Содержание

Введение. 3

1. Вероятность случайного события. 4

Случайные события. 4

Теоремы сложения и умножения вероятностей. 6

Формула полной вероятности. Формула Байеса. 7

Вопросы для самопроверки. 9

2. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. 10

Понятие случайной величины.. 10

Законы распределения дискретной случайной величины.. 10

Интегральная функция распределения. 14

Дифференциальная функция распределения. 17