Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 8 страница

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L : коническая винтовая линия x = t cos t , y = t sin t, z = t , 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

L : дуга кривой x = t cos t , y = t sin t , z = t , 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L : часть винтовой линии x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t 2

Ответы:1) 2) 3) 4)

f (x ,y) = y ; L : x = a cos t , y = a sin t , 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

f (x ,y ) = xy ; L : x = a cos t , y = b sin t , 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

f (x , y) = y ; L : x = a(t–sin t) , y = a(1-cos t) , 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

f(x , y) = ; L : x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cost) , 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

f(x ,y) = 3x -y ; L : x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cost) , 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

f(x, y ) = x ; L : x = a(t – t sin t) , y = a(1 – cos t) , 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3)

f( x,y ) = xy L : x = ch t , y = ash t , 0 t t

Ответы: 1) 2) 3)

f( x,y ) = + ; L : x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2

Ответы: 1) -1 2) 1 3) 2 4)0

f( x,y,z) = x + y + z ; L : x = cos t , y = sin t , z = t , 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

f( x,y,z) = z ; L : x = t cos t , y = t sin t , z = t , 0 t t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

f( x,y,z) = ; L : x = t , y = , z = , 0 t 1

Ответы: 1) 2)

3) 4)

31. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L : контур параллелограмма с вершинами A(0,1) , B(3,0) , C(3,2) , D(0,2)

Ответы: 1)24,5 2)34,5 3)40 4)42,5

32. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L : окружность x + y + z = a x + y + z = 0

Ответы: 1) 2) 3) 4)

33. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L : контур треугольника с вершинами A(0,0) , B(1,0) , C(0,1)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

34. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L : контур треугольника с вершинами A(0,1) , B(2,0) , C(0,2)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль ломанной L=ОАВ, где О (0;0), А (2;0), В (2;4).

Ответ: 1) 24 2) 12 3) 6 4) 48

Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L окружности , от т.А (5;0) до т. В (0;5)

Ответ: 1) 2) 3) 4)

Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L параболы от т.А (-1;1) до т. В (1;1)

Ответ: 1) 2) 3) 4) 8

Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой от т.А (0;1) до т. В (-1;е)

Ответ: 1) е 2) 3) 2е 4)

Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль парболы от т.А (0;0) до т. В (1;1)

Ответ: 1) 2) 3) 4)

Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой от т.А (1;0) до т. В (е;1)

Ответ: 1) e 2) 2e 3) 4)

Ответы к тестам:

Номер задания

Номер ответа

4.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

4.1 Определение поверхностного интеграла I рода

Пусть в точках поверхности S гладкой ( если в каждой её точке $ касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно ) определена ограниченная функция f(M) = f (x,y,z)

Разобьём поверхность S произвольно на n частей с площадями DS₁ , DS₂ . . . DS_n . Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку M_i (x_i , h_i , V_i), составим сумму

. (4.1)

Сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности S . Пусть диаметры площадей DS_i , d₁ . . . d_n , наибольший из всех диаметров обозначим через d .

Определение 4.1.1

Если интегральная сумма (4.1) при d®0 имеет предел , равный J ,то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается символом

(4.2)

Функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S , S- область интегрирования .

Определение аналогично определению двойного интеграла , поэтому свойства двойных интегралов и условия $ переносятся на поверхностные интегралы .

Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности .

Если f(x,y,z) > 0 и её рассматривать как поверхностную плотность массы материальной поверхности , то (4.2) определяет массу этой поверхности .

4.2 Вычисления поверхностных интегралов I рода

Производится сведением поверхностного интеграла к двойному .

Пусть поверхность S задана уравнением

z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z¹_x (x,y) и Z¹_у (x,y) непрерывны в замкнутой области G , которая является проекцией S на плоскость хОу .

Пусть функция y = f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и ,следовательно, интегрируема по этой поверхности .

Разобъём поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость ОХУ. Получим соответственно разбиения областей G на G₁ ,G₂ , . . . ,G_n . Площадь DS_i каждой части поверхности может быть представлена в виде

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем , можно получить , что :

где z = z(x,y). Переходя к пределу d ®0 .

Подставляя в (4.2) :

. (4.3)

Пример 4.2.1

Вычислить интеграл , где S- часть параболоида вращения Z = 1 – x² – y² , отсечённого z = 0 .

Решение .

Поверхность Z = 1 – x² – y² проектируется на плоскость ОХУ в область G , ограниченную окружностью х² + у² = 1 .

Z¹_x = -2x , Z¹_y = -2y .

По формуле (4.3)

4.3 Поверхностные интегралы II рода

Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M) .

Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий через т.М . Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором так , чтобы он 1) всё время оставался нормальным к S , 2) и его направление менялось при этом перемещении непрерывно .

Если обход по любому замкнутому контуру , лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы , при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности , то поверхность называется двусторонней .

Если же на поверхности S , $ замкнутый контур , при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное , то поверхность называется односторонней .

Будем рассматривать только двусторонние поверхности .

Двустороннюю поверхность называют ориентируемой , одностороннюю – неориентируемой .

Пусть S – ориентируемая поверхность , ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения . Будем считать положительное направление обхода то , при движении по которому наблюдатель , расположенный так , что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове ,оставляет поверхность слева от себя .

Противоположное направление обхода считается отрицательным.

Перейдём к определению поверхностного интеграла II рода .

Пусть S – гладкая поверхность Û Z = f(x,y) и R(x,y,z) – ограниченная функция , определённая в точках поверхности S .

Выберем одну из сторон поверхности . Если нормали составляют острые углы с осью Oz , то будем говорить , что выбрана верхняя сторона поверхности Z = f(x,y) , если тупые , то нижняя .

Разобьём S на произвольные n части .

G_i - проекции i –части поверхности на ОХУ .

Выбрав на каждой частичной поверхности любую т.М_i (x_i , h_i, V_i), составим

, (4.4)

где DS_i – площадь G_i , взятая со знаком (+) , если выбрана верхняя сторона поверхности S .

Уравнение (4.1) – интегральная сумма для функции R(M) .

Обозначим через d максимальный из диаметров частей поверхности S .

Определение 4.3.1.

Если интегральная сумма (4.1) при d®0 имеет предел , равный J , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x,y,z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов :

R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S .

Сумму

называют общим поверхностным интегралом II рода и обозначают символом , (4.5)

который обладает теми же свойствами , что и поверхностный интеграл I рода . Отличается от него только тем , что при изменении стороны поверхности он меняет знак .

4.4 Вычисление поверхностного интеграла II рода

Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y) . Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ . Рассмотрим на поверхности S .

R(x,y,z) – непрерывная функция .

Разобьём S произвольно на n частей G₁ , G₂ , . . . ,G_n .

Выберем по произвольной точке М_i (x_i , h_i, V_i) .

Составим интегральную сумму :

= ,